第三节 随机过程的数字特征

虽然随机过程的分布函数族（F₁，F₂，…）能完全地描述随机过程的统计特性，但要具体分析确定它，往往是困难的，甚至是不可能的，而且有时在实际工作中也不需要确定。通常在实际应用中仅需掌握随机过程的一些数字特征就足够了。这些数字特征既便于刻画随机过程的重要统计特征，又便于进行实际计算。随机过程的主要数字特征如下。

一、数学期望函数

对于某固定时刻t，随机过程X（t）为一个随机变量，因此，可以按定义随机变量数学期望的方法定义随机过程的数学期望，即

从式（2-4）可以看出，μ（t）依赖于t，是t的确定性函数。因此，称μ（t）为随机过程X（t）的数学期望函数，有时也称为均值函数。

μ（t）刻画了随机过程X（t）在不同时刻的理论均值，表示了随机过程在不同时刻的摆动中心（图2-3中的粗线）。需指出，μ（t）是统计平均（又称集平均、截口平均），与后面将引入的时间平均概念不同。

二、方差函数

对于某固定时刻t，随机过程X（t）为随机变量，其二阶中心矩为

图2-3 随机过程围绕均值函数起伏变化的情况

D（t）是随时间t而变的函数，因此称D（t）为随机过程X（t）的方差函数。方差函数的平方根

称为随机过程X（t）的标准差（均方差）函数。

D（t）和σ（t）是t的普通函数，描述了随机过程对于数学期望μ（t）的绝对偏离程度。

三、变差系数函数

随机过程X（t）的变差系数函数为

C_v（t）是t的普通函数，描述了随机过程对于数学期望μ（t）的相对偏离程度。

四、偏态系数函数

随机过程X（t）的三阶中心矩C_s（t）被称为随机过程X（t）的偏态系数函数，即

它也是随时间t变化的函数。

数学期望函数、方差函数、变差系数函数和偏态系数函数描述了随机过程X（t）在各个孤立时刻t的统计特性。

五、自协方差函数

若X（t₁）和X（t₂）为随机过程X（t）在任意两个时刻t₁、t₂的两个截口，f₂（x₁，x₂；t₁，t₂）是相应的二维概率密度函数，则称二阶中心相关矩

为随机过程X（t）的自协方差函数（协方差函数），它刻画了随机过程X（t）在时刻t₁与t₂ 之间的统计联系。

六、自相关函数

随机过程X（t）的自协方差函数是一个绝对的相关量，将其标准化得自相关函数（自相关系数）

也称随机过程X（t）的标准化协方差函数。

自协方差函数和自相关函数刻画了随机过程在任意两个不同截口之间的线性相关程 度。需要注意的是，当自相关函数较小时只能说明两个不同截口之间线性关系弱，但是并不表明其非线性关系程度。

对于随机序列X_t，对式（2-4）～式（2-10）中的连续变量离散化后即可计算其数字特征，下面简要地给出计算式。数学期望函数为

式中：m为试验次数（现实个数）。

方差函数为

偏态系数函数为

自协方差函数为

表2-1给出了金沙江屏山站65年（1940—2004年）月平均流量序列的数字特征。可以看出，这些数字特征是随时间t变化的。