第二节 随机过程的分布函数

一个随机变量的统计特性完全由随机变量的概率分布函数所确定，n个随机变量的统计特性完全由它们的联合分布函数所确定。随机过程在任意一时刻的状态是随机变量，因此随机过程的统计特性也完全由它的概率分布函数来确定。

X（t）是一个随机过程，对任一固定t，X（t）是一个随机变量，其分布函数记为

称F₁（x，t）为随机过程X（t）的一维分布函数。若∂F₁（x，t）/∂x存在，记f₁（x，t）=∂F₁（x，t）/∂x，称f₁（x，t）为随机过程X（t）的一维概率密度函数。F₁（x，t）和f₁（x，t）与时间t有关。一维分布函数或一维概率密度函数描述了随机过程在各个孤立时刻（状态）的统计特性。

随机过程X（t）在任意两时刻t₁、t₂的状态X（t₁）与X（t₂）之间的联系可用二维随机变量（X（t₁），X（t₂））的分布函数描述，即

称F₂（x₁，x₂；t₁，t₂）为X（t）的二维分布函数。对应二维分布函数，存在二维概率密度函数f₂（x₁，x₂；t₁，t₂）。F₂（x₁，x₂；t₁，t₂）与时间t₁、t₂有关。二维分布函数比一维分布函数包含了更多的信息，它反映了任意两时刻t₁、t₂状态间的统计关系。

同样可引入随机过程X（t）的n维分布函数

同理存在n维概率密度函数。n维分布函数能够近似地描述随机过程X（t）的统计特性。显然，n越大，随机过程的统计特性的描述也越趋完善。

一般而言，分布函数族（F₁，F₂，…）完全地确定了随机过程的全部统计特性。例如，要描述年内日平均流量序列的统计特性，它的一维分布函数描述了365日各日平均流量截口的统计特性；二维分布函数描述了任意两个日平均流量截口之间的联系；n（n≤365）维分布函数则描述了任意n个日平均流量截口之间的联系。一维、二维、…、n维日流量分布函数族就完全描述了年内日平均流量序列的全部统计特性。