古埃及数学

虽然关于古埃及文明的古老程度众口不一，但专家一般都同意，似乎无论往前追溯多远，都找不到古埃及社会的原始未开化时期。据记载，“古埃及第一任国王梅内斯改变了尼罗河的航道，建造了一座巨大的水库，并在孟菲斯（Memphis）建造了普塔神庙。”古埃及人很早就开始建造金字塔。既然经常建造此类规模浩大的工程，理所当然，他们必须了解一些数学知识，至少是实践方面的数学知识。

古希腊学者普遍认为，古埃及人率先发明了数学。不过话说回来，他们并不怎么羡慕古埃及。柏拉图在《菲德罗篇》（Phcedrus）中说：“在埃及的瑙克拉斯（Naucratis）有个著名的旧神，名叫南斯（Theuth）；有一种鸟，名为宜必思（Ibis），是南斯的圣鸟。南斯发明了算术、计算、几何、天文学、国际跳棋和骰子，但他最伟大的发明是字母。”

亚里士多德（Aristotle）说，数学诞生于古埃及，因为那里的神职人员有闲暇学习。希罗多德斯（Herodotus）、狄奥多罗斯（Diodorus）、第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）、杨布里柯（lamblichus）和其他古代学者尤为同意几何学源于古埃及的说法。希罗多德斯（《历史》第2卷，第109段）曾说：“塞索斯特利斯（Sesostris）国王把土地分给埃及人，并确保每人都有一片大小相等的四边形土地，每年征收一定税款，作为国家财政收入。但是一些地区洪水肆虐，划定的土地界线被洪水冲毁，这些地区的人不得不再去找国王汇报情况。然后，国王会派遣监督者测量出百姓的土地变小了多少，以便土地所有者可以根据剩余土地的大小缴税。我认为，几何学就是这么产生的，并在之后传到了希腊。”

关于古埃及数学，我们将不再介绍其他古希腊人的看法或猜想。接下来，我们希望基于档案证据继续讨论。1877年，艾森洛尔（Eisenlohr）解读了大英博物馆的莱茵德（Rhind）藏品中的纸草书，他发现这是一本包含算术和几何学问题的数学手册。它由阿默士于公元前1700年左右所写，基于一本更古老的据信为博奇（Birch）所写的书，该书的写作时间可追溯至公元前3400年。这本奇特的纸草书——已知最古老的数学手册——使我们得以接触到3000年乃至5000年前的古埃及人的数学思想。它的标题为“了解所有黑暗事物的方法”。从中我们可以看出，埃及人并不关心理论结果。书中根本找不到任何定理。它“几乎没有任何一般性的步骤规则，主要介绍的是计算结果，用途可能是课堂授课。”在几何学领域，埃及人的强项主要在建筑和计算面积方面。但是，在阿默士纸草书中，腰长为10开赫特（Khet，一说等于16.6米，另一观点认为是这一长度的3倍），底边为4开赫特的等腰三角形的面积可算成底边乘以腰长的一半，即20平方开赫特。类似地，等腰梯形的面积可算成两平行边长度之和的一半乘以腰长，圆形面积可算成圆周长减去直径的所得的差的平方，此处，π取值为。这是一个非常合理的估计。另外，该纸草书也解答了另外一些问题，比如实地标出边长为10单位和4单位的正三角形或者是上下底边分别为4单位和6单位，腰长为20单位的等腰梯形。

该纸草书中的一些问题似乎表明埃及人已经掌握了基本比例知识。

金字塔的基线是南北和东西走向，但大概只有南北走向的基线通过天文观测所确定。再加上，我们知道埃及几何学家用“harpedonaptce”一词表示“司绳官”。由此我们可得出结论：古埃及人像古印度人和古代中国的几何学者一样，已经学会在给定线上构造直角三角形，他们将一条绳子绕在三根桩上，三部分长度比例为3：4：5，从而构造一个直角三角形。如果这个解释是正确的，那么就说明埃及人在公元前2000年就掌握了直角三角形的这一众所周知的属性，至少在上述特殊情况下，即边长比例为3：4：5时，他们很熟悉。

伊德夫（Edfu）著名的荷鲁斯（Horus）神庙，人们发现神庙的墙上写着一些象形文字，时间大约在公元前100年，文字中列举了神职人员拥有的土地及其面积。四边形的面积不考虑是否规则，通过公式计算。因此，若一四边形边长分别为5、8、20、15，则面积为。阿默士使用大约公元前3000年的不精确的计算公式得出了比伊德夫石碑上的方法更准确的结果，而伊德夫石碑的书写时间比《几何原本》（Elements，简称《原本》）的发表还要晚200年。

古埃及几何学主要是构造知识，但这远不能解释古埃及几何学中某些重大缺陷。古埃及在两个重要问题上都失败了，解决不了这两个问题，就谈不上存在真正意义上的几何学。首先，在这个地方，他们未能构建出基于公理和公设的严密几何逻辑体系。他们总结的许多几何学规则，尤其是立体几何规则，很可能根本没有找到证明方法，而是仅仅凭借观察或者认为是基本事实，就认定这些规则是正确的。他们的第二个重大缺陷是他们未能将众多特殊情况纳入更一般的视角，从而无法得出更广泛和更基本的定理。一些最简单的几何学真理被划分为无数特殊情况，每种特殊情况都需要单独处理。

在介绍古埃及几何学时，我们顺带介绍一些曾跟随古埃及祭司学习的古希腊数学家。

通过商博良（Champollion）、杨（Young）以及他们的继承者对古埃及象形文字的解读，我们对古埃及计数法有了更多了解。古埃及计数使用了以下符号：代表“1”,代表“10”,代表“100”,代表“1000”,代表“10000”,代表“100000”,代表“1000000”,代表“10000000”。代表1的符号是一个垂直物体，代表1万的符号是一个指向某处的手指，代表10万的是一条淡水鳕鱼，代表100万的是一个震惊的男子。其余符号的意义则令人怀疑。用象形文字写这些数字非常烦琐，每个数位的单位有多大，该数位的符号就需要重复多少次，其中运用的运算法则是加法，因此，23会写成。

除了象形文字，埃及人还有僧侣文字和通俗文字。但是由于篇幅有限，此处不做讨论。

关于古埃及的计算方式，希罗多德斯有一条重要论断。他说，他们“通过从右向左移动手来计算卵石，而希腊人则从左向右移动手来计算”。于此我们认识了一种古老的人们广泛使用的辅助计算方法。埃及人使用十进位制。既然他们在计数中水平移动他们的手，所以他们似乎使用了带有垂直栏的算板。在每个栏中，卵石不超过9个，因为10个卵石等于相邻左栏中的1个卵石。

阿默士纸草书显示，古埃及人使用分数的方式非常有趣。他们的操作方法与我们的方法截然不同。分数对这些古代人来说是非常困难的问题。他们通常避免同时改变分子和分母。在处理分数时，古巴比伦人保持分母（60）不变。类似地，古罗马人也保持分母不变，且等于12。而埃及人和希腊人则保持分子不变，分母可变。阿默士使用的是狭义上的“分数”，因为他仅使用“单位分数”，即分子为1的分数。具体表示法是先写分母，接着在其上加一点表示分子。如果一个分数值无法用任何单位分数表示，则用两个或两个以上单位分数之和表示。因此，阿默士用表示。另外，虽然他知道等于，但令人奇怪的是，他经常将用作单位分数，并使用了一个特殊符号表示。那么，首先自然而然就会有用单位分数的和表示任意分数的问题，这个问题借助纸草书中给出的一个表得以解决，在这个表格中（n取最大到49的所有数字）代表的所有分数都用单位分数表示。因此，。这份表格是何时何人如何计算出来的，我们不得而知。很有可能是由不同的人于不同时期以经验为依据编写的。接下来，我们将会看到，如果一个分数分子大于2，且分母和该表中的某个分数的分母相同，那么通过重复应用这个表，就可以用想要的形式来表示分数。以5除以21为例。首先，由表可得，，那么。纸草书中给出了一些数学难题，解决这些难题需要分数通过加法或者乘法增加到给定整数或者分数。例如，现在有一题要求把加到1。古埃及人在这里采用的公分母应该是45，于是这些数字的分子表示为, 1，这些数字的总和为四十五分之，然后加上，和为，再加上，得1，因此给定分数加到1的条件下，需要相加的数字为。

阿默士给出如下例子，其中涉及等差数列：将100片树叶分给5个人后，后两人所得为前三人所得，问差是多少。阿默士给出如下解答：“令差为，乘以。”为什么阿默士会想到选择作为差呢？原因也许是这样：令a及-d作为所需等差数列第一项及公差，那么[a+(a-d)(a-2d)]=(a-3d)+(a-4d)，而，即公差d为上一项的。设最后一项为1，即可得到第一个数列。数列和为60，但实际应该是100；因此，乘以，因。此处所用的解法，也就是著名的“假位法”，它将会再次出现于古印度数学家、阿拉伯数学家和现代欧洲数学家的研究中。

阿默士还提到了一个等比数列，其中包含数字7、49、343、2401、16807。在这些7的幂旁边有这样一些词汇画：“猫”“老鼠”“大麦”“麦粒”。这些神秘的数字有什么含义？3000年后，斐波那契（Fibonacci，又称Leonard of Piza）在考虑这个问题时，在他的《算盘书》（Liber Abaci）中给出了如下问题：“7名老妇人去往罗马，每位妇人有7头骡子，每头骡子担着7个口袋。”莫里茨·康托尔（Moritz Cantor）如此解读阿默士之谜：有7个人，每人有7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7根大麦穗，从每根大麦穗中可以长出7颗大麦粒。一共有多少人、猫、老鼠、麦穗和麦粒？阿默士给出的这一等比数列的和为19607。因此，我们可以说阿默士纸草书既揭示了等差数列的知识，又介绍了等比数列的知识。

阿默士接着去求解一个未知数的方程。他将未知数称为“hau”或者说“堆”。他给出的一个问题为：“堆的与堆之和为19，求堆。”意即，此题解答如下：。但是在解其他问题时，需要采用其他各类办法。这样看来，似乎代数的历史和几何学一样古老。

阿默士的时代是埃及数学的黄金时代，同时代的其他纸草书（发现时间更晚）也记载着相同方法。这些纸草书发现于伊拉洪（Illahun）金字塔以南的卡洪（Kahun），与阿默士的记录非常相似。此外，它们还包含二次方程的示例，这是已知最早的记录。其中一个是：假设给定平面面积为100单位，需用两个正方形的和来表示，正方形边长之比为。用现代数学语言描述就是，x2+y2=100，且，求x和y的值。解题需要用到假位法。首先尝试x=1,，那么。但，且。剩余解题过程无法辨认，但很有可能应该是x=8×1,。由此解答，我们可得关系式62+82=102。

阿赫米姆（Akhmim）纸草书同阿默士纸草书在某些方面类似，该书成书于阿默士纸草书2000年之后，发现地点位于阿赫米姆——埃及尼罗河边的一座城市。该书用希腊文所写，据信成书于公元500年到800年，像阿默士纸草书一样其中包含数学例题以及解“单元分数”的表。与阿默士不同的是，这本书同时介绍了此类表是如何构造的。其中规则用现代符号表示就是：，当z=2时，该公式即可生成阿默士纸草书中的表的一部分。

古埃及算术的主要缺陷是缺少简易、全面的符号系统，这一问题甚至连古希腊人都没解决。

阿默士纸草书和同一时期的其他纸草书代表了古埃及算术和几何学最先进的成就。值得注意的是，他们竟这么早地达到了如此高的数学水平。但是，同样令人奇怪的是，接下来的2000年里，他们竟没有取得任何进展。我们不得不得出这样的结论，他们的科学文化和政治制度发展逐渐陷入停滞。公元前6世纪希腊学者访问埃及时所拥有的所有几何知识，毫无疑问古埃及人早于他们2000年就已经熟知，因为正是在那时他们建造了那些惊人的庞大建筑——金字塔。