3.4.3 控制器增益的选取

由图3-39可得，导弹横滚控制系统的闭环传递函数为

为使横滚控制系统产生预期响应，即在保证超调量小于20%的前提下，尽可能降低峰值时间，需要详细分析确定控制器增益K的取值。因为二阶系统有调节时间、超调量、固有频率和阻尼比等性能指标之间的关系式，所以如果闭环系统为二阶系统，分析设计工作就会简单得多，但式（3-84）表示的是三阶闭环系统Φ（s）。因此，可以考虑将三阶系统降阶，近似为二阶系统，这通常是一条可行的工程分析思路。有很多降阶方法可供选择，这里采用代数方法对系统进行降阶，目的是使降阶后的二阶系统与原三阶系统保持尽可能相同的时域响应。

将闭环传递函数Φ（s）的分子、分母同时除以常数项114K，可得

假定降价后近似二阶系统的传递函数为

其中，d₁、d₂为待定参数。令M（s）和Δ（s）分别表示Φ（s）/Φ_L（s）的分子和分母，并分别定义M_2q和Δ_2q为

然后，令

其中，q的取值不断递增，直到方程式的数量足够求解参数d₁、d₂为止。此处，q只需取值1和2，即可求得参数d₁、d₂。

将式（3-85）～式（3-87）展开后

M (s)=d₂s2+d₁s+1

M(3)(s)=M(4)(s)=…=0

令s=0，可得

M(1)(0)=d₁

M(2)(0)=2d₂

M(3)(0)=M(4)(0)=…=0

同理，可得

Δ(4)(s)=Δ(5)(s)=…=0

令s=0，可得

Δ(4)(0)=Δ(5)(0)=…=0

根据式（3-85），当q分别取值1和2时，有

根据式（3-86），当q分别取值1和2时，有

由式（3-87）可构造方程组

M₂=₂Δ,M₄=₄Δ

即

解方程组，可得

为使等效二阶系统的极点都分布在S平面的左半平面，参数d₁、d₂只能取正数。将d₁、d₂代入Φ_L（s）中，整理后可得

只有控制器增益满足K＜0.65，Φ_L（s）的分母中s项的系数才能为实数。

对比二阶系统传递函数的标准形式

有

指标要求a表明，超调量不能大于20%，根据σ_p%=×100%，可得阻尼比必须满足ζ≥0.45。令ζ=0.45，并将其代入式（3-91），可得增益K为

K=0.16

进一步有

根据二阶系统峰值时间的表达式，可得

如果要将横滚控制系统的超调量降低到20%以下，可以令阻尼比ζ＞0.45。但是，系统的其他性能指标将会发生改变。由式（3-91）可知，当阻尼比ζ增大时，增益K将减小。同时，由于，当K减小时，ω_n也将随之减小。由峰值时间的计算公式可知，当ω_n减小时，峰值时间T_p将增大。由于控制目标是在满足超调量不大于20%的前提下，尽可能减小系统的峰值时间，因此应选取阻尼比为ζ=0.45，这样既可满足超调量的设计要求，也不会增大峰值时间T_p。

根据降阶后的二阶近似系统，得到了增益K与超调量、峰值时间等性能指标之间的关系。但是，对于本节的案例而言，确定控制器增益K=0.16只是横滚控制系统设计的起点，而不是终点。此外，由于系统实际上为三阶系统，因此还需考虑第三个极点对系统性能的影响。图3-40给出了式（3-84）描述的三阶实际系统和式（3-90）描述的二阶近似系统的单位阶跃响应曲线，由图知，二阶系统的阶跃响应与实际三阶系统的阶跃响应非常接近，因此利用二阶近似系统得到的参数K与超调量、峰值时间之间的关系，适用于该三阶实际系统。

基于二阶近似系统，从系统的指标设计要求出发，选定增益K=0.16，此时系统的超调量为20%，峰值时间T_p=2.62s。由图3-41可知，增益K=0.16时，三阶实际系统的超调量为20.5%，峰值时间T_p=2.73s。由此可见，降阶近似系统能够较好地预测实际系统的响应及性能。为了比较增益K不同取值时三阶系统的响应及性能，分别令增益K=0.1和K=0.2，并绘制其单位阶跃响应曲线，如图3-41和表3-6所示，当K=0.1时，系统响应的超调量为9.5%，峰值时间T_p=3.73s；当K=0.2时，系统响应的超调量为26.5%，峰值时间T_p=2.38s。很明显，当K减小时，阻尼比ζ增大，导致超调量降低，同样峰值时间增大，这与前面理论推导的结果完全一致。