5.1　协变路径积分量子化

自由场理论的作用量为

当约束存在时，它描述自由弦的传播，其库仑规范形式的作用量是

我们以在其他规范不变理论的量子化过程中使用过的方法对式（5.1.2）进行量子化，以下面的欧氏路径积分开始：

5.1.1　法捷耶夫-波波夫幽灵

法捷耶夫-波波夫幽灵记作F-P幽灵。符号表示遍及3个独立分量、的积分，需要为这个积分定义一个精确的测度，并且异常可能出现。为了维持式（5.1.3）的对称性，尚无令人满意的方法来定义测度。由于存在3个规范不变量，即两个再参量化参数和一个外尔标度，所以需要选取一个规范切片，为的3个函数中的每一个做一个特殊选择。通常的规范选择为

在光锥规范中式（5.1.2）意味着：

在世界片再参量化之下，，规范条件式（5.1.3）变换为

证明：设有穷小坐标变换为，其中是协变导数，包括克里斯托菲算符。故。当α=β=“++”时得

同理可得

在路径积分中，设定规范条件的程序，如式（5.1.3）。令G是弦世界片的再参量化群，Dg表示遍及群流形的积分，表示h被再参量化g转换了的度规。路径积分中的基本工具是

式中，因子是通常库仑规范的行列式，因此积分需要等于1。库仑规范路径积分的下一步是在式（5.1.7）形式的路径积分式（5.1.3）中嵌入1。这给出：

因为S是再参量化不变量，S[h,X]=S[hg,X]，所以式（5.1.8）中的被积函数在组合中仅依赖于h和g。因此，我们制造一个积分变量g和h与g和关联的机会，并丢弃积分。现在该积分仅贡献一个无限乘法因子。于是得

式中，δ函数容易处理，它们意味着积分约简为上的一个积分，或者在式（5.1.4）中定义的ϕ上等价。处理式（5.1.9）中的行列式更棘手。通常的方法是将行列式表示为反对易“幽灵”和“反幽灵”的积分。需要的公式可由来决定。显然有

对于+→-也一样。式（5.1.10）中的δ函数恰是坐标空间中的等量算符，、的行列式正是处理式（5.1.9）中的行列式所需要的。因此，为了表示式（5.1.9）的第一个行列式，引入一个反对易“幽灵”和一个“反幽灵”，其对易关系是

并且写出（在标准化中吸收因子2）：

式（5.1.9）的第二个行列式表达为遍及“幽灵”和“反幽灵”的积分，即

用式（5.1.9）中的δ函数求解h，h是由式（5.1.4）中保形因子ϕ定义的，而库仑规范路径积分变为

式中，作用量S包括式（5.1.12）、式（5.1.13）中定义的和式（5.1.1）自由场中有关的幽灵项。

接下来，讨论式（5.1.14）中的Dϕ积分。式（5.1.14）中的被积函数独立于ϕ，故Dϕ积分仅给出了一个无关紧要的覆盖全体的无限因子。事实上，由于正则化问题，ϕ的去耦只适用于26-维时空。这里共形异常消除。然而，验证这种结论需要某些工具，我们还没有发展出来。我们暂时简单地假定Dϕ积分可以丢弃，而研究包括“鬼魂”在内的相关理论。首先证明，如果包括“鬼魂”的贡献，在26-维时空中维拉宿代数中的c-数异常消失。然后在5.2.3中我们证明，对于ϕ在26-维时空中的解耦，这是等价的。式（5.1.14）中的积分在物理上可能是合乎情理的，即使ϕ依赖不能抵消。这种可能性激发了一些非常巧妙的建议，但是保留了不确定性。在任何情况下，对于超弦的统一，ϕ依赖在其中消失的临界维数都是首选。本书中，我们不纠缠临界维数之外的超弦理论分析。

5.1.2　复世界片张量计算

在试图理解幽灵之前，在共形形式的二维度规中，理解黎曼几何的基本公式很有用。使用欧几里得几何语言讨论欧氏度规的弦世界片，虽非至关重要，却会带来很多方便。根据欧氏化的公式可以直接得达闵可夫斯基化的公式，反之亦然。这对以后发展欧几里得绘景好像是至关重要的，因为这将导致黎曼几何和复分析。世界片的度规至少局域放到了形式中，自然引入复坐标及其复共轭。当使用闵可夫斯基的世界片时，我们已经参考了早先的z和，如同。在z和坐标系中，矢量的分量是

进而，偏导的分量是

度规分量是和。不变线元是

证明：因为前面引入的复坐标是，其复共轭是，所以有，。因此线元为

指标的升降规则为

坐标的变化为z→，其中是z的全纯函数，保持了度规的共形平直形式。它简单地派生出：

式中，。一般地，一个张量有全纯指标上、下，以及反全纯指标上、下，其变换按照

进行，参考了全纯（反全纯）张量t的共形维。全纯（反全纯）张量通常可以丢弃而不会引起混淆。全纯函数是复分析研究的主要课题。在复平面C中取值的函数，在每点复可微，表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述。解析函数经常可以和全纯函数互相交换使用。一个在整个复平面上全纯的函数称为整函数。在一点a全纯表示在a点可微，也表示某个中心为a的复平面的开邻域可微。双全纯表示一个有全纯逆函数的全纯函数。当且仅当一个复函数全纯时，满足柯西-黎曼方程。z的所有复系数多项式函数、三角函数、指数函数也是全纯函数。若一个张量的元素都是全纯函数，则该张量称为全纯张量。

在通常的方法中，我们用克里斯托菲联络定义张量的协变导数：

黎曼曲率张量按照惯例定义为

关于共形平直度规的克里斯托菲联络的非零分量仅有

因此，具有n下或者上“+”指标的张量有

它们遵守：

由此可读出关于共形平直度规的二维曲率标量为

现在，我们重新考虑关于幽灵c和反幽灵b的法捷耶夫-波波夫幽灵作用量。我们以对任何世界片度规有意义的方法写出这个作用量，它不一定遵守保形规范。幽灵场可解释为矢量场的分量。反幽灵场可以解释为无迹对称张量的分量。反过来说，通常对称张量具有分量和，但是对无迹对称张量消失。幽灵作用量现在可以写作：

式中，幽灵场是逆变矢量场；反幽灵场是协变无迹对称张量。幽灵场b和c是反对易量，即格罗兹曼值。

如同3.3.3节所讨论的，世界片的能量-动量张量定义为

在利用式（5.1.27）推断幽灵的贡献时，必须包括式（5.1.29）中克里斯托菲联络的贡献。此外，无迹的必须计算在内。考虑到这些因素，幽灵对能量-动量张量的贡献为

式中，圆括号表示封闭的下标的对称性，如(αβ)=(βα)；上标(c)表示幽灵的能量-动量张量。

作为无迹对称张量，在上面描述的复合基中仅有的分量是。同样适用于。例如：

我们也要注意在共形规范中式（5.1.29）简化为

这与之前定义的法捷耶夫-波波夫幽灵作用量完全一致。

5.1.3　幽灵的量子化

式（5.1.33）意指b和c具有规范反对易关系的共轭自由度，即

在共形规范中，其运动方程是

式中，共轭，共轭。开弦边界条件为在弦的端点处=，于是有

类似地，在弦的端点处要求，于是有

式中，是幽灵膜，应不与超弦玻色子区的反对易混淆。正则反对易关系是

对于闭弦，边界条件恰是σ的周期性，故、具有独立的模展开式，即

类似地，坐标包含模和。

这些公式中的b和c对称地进入，如和。因为在平直世界片上，幽灵拉格朗日对称地处理b和c，但在弯曲世界片上不是这样的，由式（5.1.29）可以明显地看出。同样，b和c并不对称地进入世界片能量-动量张量，这是由对于世界片度规的改变而导致的。即使在平直世界片上，由于它们以不同的方式在弯曲世界片上传播，能量-动量张量处理b和c的方式也不相同。由式（5.1.31）和式（5.1.32）可确定世界片能量-动量张量的分量的形式为

将模展开式嵌入，并且在τ=0处提取傅里叶模，对开弦给出维拉宿生成子：

式中，J=2是反幽灵的共形维数（幽灵c具有共形维数J=-1）。我们已经囊括了自由参数J，而不仅是J=2，稍后我们将分析系统中b和c被反对易场的维数J和(1-J)取代。一般地，规范序要求式（5.1.45）中的m=0，这时有

当然，对闭弦也有第二套幽灵维拉宿生成子。Lm满足通常的维拉宿代数：

式（5.1.47）具有异常项：

由此可以推导出：

证明：令，将其代入式（5.1.48）得

再令J=2，得

恰如第4章中所介绍的，确定异常的最简单、最安全的方法是评估特定的矩阵元。例如，

给定维拉宿算符模展开式［式（5.1.45）］，我们可直接计算b和c的对易关系，而b、c的量化范围对于幽灵和反幽灵是不同的。例如，对开弦σ=0表达式

分别有共形维数J=-1和J=+2，因为

我们定义对应于S0+Sgh的完整的维拉宿生成子为

注意，我们已经改变了L0的早期定义，故第0个约束现在是L0=0。增加的幽灵和物质对异常的贡献是

显然仅当D=26、a=1时，A(m)=0，这时我们的理论才是共形不变的。