第四节 物理方程——应力与应变的关系
上面已经导出了平面问题的平衡方程和几何方程。但是，仅有这两组方程，还不能求解问题。这是因为式（2-1）、式（2-3）只含应力分量，而式（2-6）只含应变分量。我们必须将它们联系起来，表示应力分量与应变分量的关系式，称为物理方程。
在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系已在材料力学中根据广义胡克（R·hooke）定律导出如下：
式中 E——拉压弹性模量，又简称为弹性模量；
μ——侧向收缩系数，又称为泊松系数；
G——剪切弹性模量，又称为刚度模量。
这三个弹性常数之间有如下的关系：
因此，只要知道这三个弹性常数中的任何两个，我们就可以根据式（2-9）求出第三个。
因为假定物体是线性弹性的、均匀的、各向同性的，所以，这些弹性常数不随应力或应变的大小而变，不随位置坐标而变，也不随方向而变。
在平面问题中，式（2-9）所示的应力与应变关系可以得到简化，下面分两种情况来讨论。
一、平面应力问题
在平面应力问题中，σz=τzy=τzx=0。在式（2-8）的第一式及第二式中删去σz，并将式（2-9）代入式（2-8）中的第三式，得
这就是平面应力问题的物理方程。
此外，式（2-8）中的第三式成为
由式（2-11）可见，只要求出了σx和σy，也就可以求得εz，因此，εz不是独立的量。在以后的讨论中，我们不把它看作基本未知量，但可以由式（2-11）的εz求得薄板厚度的改变。
最后，由式（2-8）的第五、第六式可得γzy=γzx=0。
式（2-10）是由应力求应变的物理方程。反之，可由式（2-10）解出应力，即可得出由应变求应力的物理方程，可表示为
为了便于以后的应用，式（2-12）可写成矩阵形式：
其中
［D］矩阵的元素只与弹性常数E及μ有关，故称为平面应力问题的弹性矩阵，它是一个对称矩阵。
二、平面应变问题
在平面应变问题中，因为物本的所有各点都不沿z方向移动（即ω=0），所以z方向的线段都没有伸缩，因而得εz=0。于是由式（2-8）中的第三式，得
此式说明只要求出了σx和σy，也就随之确定了σz，因此，σz也不作为基本未知量。所以，在分析平面应变问题时，只有σx、σy和τxy三个独立的应力分量。将式（2-15）代入式（2-8）中的第一式及第二式，并注意式（2-10）中的第三式仍然适用，得
式（2-16）就是平面应变问题的物理方程。此外，在平面应变问题中，因τzy=0，τzx=0，所以也有γzy=0，γzx=0。
如将两类平面问题的物理方程式（2-11）和式（2-16）加以比较，则可看出两者虽不一样，但是，若把平面应力问题的物理方程式（2-11）中的E换成E1、μ换成μ1，即
就得到平面应变问题的物理方程式（2-16）。其中的第三式也并不例外，读者由E1和μ1的定义不难证明
应用式（2-17）的关系，将式（2-16）改写成
由式（2-19）看出，两类平面问题可以按照同样的方式进行分析，只要利用转换关系式（2-17），就可将平面应力问题的物理方程转换成平面应变问题的物理方程。为了便于以后的应用，平面应当变问题的物理方程也可写成式（2-13）的矩阵形式{σ}=［D］{ε}，只是其中的弹性矩阵［D］，应由式（2-17），将式（2-14）转换成如下形式
两类平面问题的物理方程虽用统一的式（2-13），但应用时需注意：平面应力问题的弹性矩阵使用式（2-14）；平面应变问题的弹性矩阵使用式（2-20）。