第三节 用水平面代替水准面的限度

如前所述，地球的体形可视为旋转椭球体，在普通测量中，当测区面积不大时，又可把球面视为平面，亦即以水平面代替水准面，使计算和绘图工作大为简化，但是多大范围内才允许用水平面代替球面呢?下面来讨论这个问题。

图1-8 用水平面代替水准面

一、地球曲率对水平距离的影响

如图1-8所示，设地面上有A′、B′两点，它们投影到球面的位置为A、B，如把水平面代替水准面，则该两点在水平面上的投影位置为A、C。这样以平面上的距离AC（t）代替球面上的距离AB（d），则产生的误差为

式中 R——地球半径（6371km）；

α——弧长d所对圆心角。

将tanα用级数展开，并取级数前两项，得

因为_，故

以不同的d值代入式 （1-3），算得相应的Δd和值列在表1-2，由表中可看出，距离为10km时，产生的相对误差为1/120万，小于目前最精密距离丈量的允许误差1/100万，因此可以认为，在半径为 10km的区域，地球曲率对水平距离的影响可以忽略不计，即可把该部分球面当做水平面看待。在精度要求较低的测量工作中，其半径可扩大到25km。

表1-2 地球曲率对水平距离和高程的影响

二、地球曲率对高程的影响

在图1 8中，A、B两点在同一水准面上，其高程相等。但如用平面代替球面，则B′点投影到水平面上为C点，这时在高程方面产生的误差为 Δh，从图中可以看出，^，因该角很小，以弧度表示，有

以不同的距离d代入上式，算得相应的Δh值列在表1-2。从表中可以看出，当距离为100m时，在高程方面的误差就接近1mm，这对高程测量来说，其影响是很大的，所以尽管距离很短，也不能忽视地球曲率对高程的影响。