2.3 坐标系间的转换矩阵

2.3.1 初等转换矩阵的几何推导

设直角坐标系O-X₁Y₁Z₁绕Z₁轴正向旋转角θ后得到坐标系O-X₂Y₂Z₂，空间矢量R在O-X₁Y₁Z₁、O-X₂Y₂Z₂系投影分别为（x₁y₁z₁）^T、（x₂y₂z₂）^T，下面推导两组投影间关系。

由于旋转绕Z₁轴，所以Z坐标不变，即z₂=z₁，由图2.3-1所示可知

图2.3-1 坐标系间变换关系

考虑到z₂=z₁，并结合式（2.3-1）、式（2.3-2）有以下矩阵形式成立：

上式描述了同一矢量在不同坐标系投影的变换关系，R_z（θ）即为绕Z₁轴正向旋转θ角形成的变换矩阵：

同理，可得绕X₁、Y₁轴正向旋转θ角形成的变换矩阵为

两坐标系间任何复杂的角度关系，都可看作有限次基本旋转的复合。转换矩阵，等于基本旋转确定的如式（2.3-4）和式（2.3-5）变换矩阵的连乘。其顺序按基本旋转的顺序自右向左排列。

2.3.2 方向余弦矩阵

如O-X₁Y₁Z₁和O-X₂Y₂Z₂为两个坐标原点重合但坐标轴方向不重合的右手直角坐标系，C²₁为X₁、Y₁、Z1坐标轴变换成X₂、Y₂、Z₂坐标轴单位矢量的转换矩阵，则有

式中

上面两个为列矩阵。

将式（2.3-6）等号两边同时点乘E₁的转置矩阵，因（单位矩阵），故有

上式可简记为

式中，a_ij表示第i行第j列的矩阵元素，如。

因为矩阵中的9个元素是由两坐标系坐标轴间夹角的余弦值组成的，故称该矩阵为方向余弦矩阵。由于O-X₁Y₁Z₁和O-X₂Y₂Z₂两坐标系均为右手直角正交坐标系，因而它们的方向余弦矩阵为正交矩阵。根据正交矩阵的“逆矩阵等于其转置矩阵”的特性，所以有

对于具有正交特性的方向余弦矩阵中的9个元素，只有3个元素是独立的。这是因为9个元素满足每行（或列）自身乘积等于1，行与行（或列与列）之间互相点乘等于零，共有6个关系式。

两坐标系间方向余弦矩阵的一个最简单形式，就是这两个坐标系的3个坐标轴中，有一相对应的坐标轴平行，如Z₁与Z₂平行，而Y₁与Y₂夹角为ξ，则此时的方向余弦矩阵为

与式（2.3-4）比较，可知其形式相同，这是初等转换矩阵的另一种推导方式。

采用相同的方法，可获得这两坐标系的第二个坐标轴和第一个坐标轴平行，而其他相应坐标轴夹角分别为_η和ζ的方向余弦矩阵为M₂（η）和M₁（ζ）。不难理解，与上一节所述类似，可将此类方向余弦矩阵记为一般形式M_i（θ）（i=1，2，3）。其中，i表示第i轴平行；θ为其他相应两坐标轴间的夹角。

2.3.3 坐标系转换矩阵的欧拉角表示

利用上述方法，可以获得任意两坐标系间的方向余弦矩阵关系式。

设O₁-X₁Y₁Z₁和O-X₂Y₂Z₂为任意两个坐标原点和坐标轴均不重合的右手空间直角坐标系，并且认为O-X₂Y₂Z₂坐标系是由O₁-X₁Y₁Z₁坐标系经过三次旋转后获得的。为了求得坐标系间的方向余弦矩阵关系式，先将O₁-X₁Y₁Z₁坐标系平移到O-X₂Y₂Z₂坐标系并使两坐标系之原点重合。

1.第一次旋转

将平移后的O-X₁Y₁Z₁坐标系绕OZ₁轴逆时针（从OZ₁轴正方向看）以角速度旋转ξ得。为叙述方便，用符号表示，如图2.3-2所示。这样，如果空间任一点在O-X₁Y₁Z₁坐标系和坐标系各轴上的投影为X₁=（X₁Y₁Z₁）^T、，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为

式中，M₃（ξ）如式（2.3-10）所示。

2.第二次旋转

将坐标系绕轴逆时针以角速度旋转η得（即）。此时如果空间任一点在坐标系和坐标系各轴上的投影为、，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为

式中，M₂（η）如式（2.3-5）所示。

图2.3-2 坐标系按3-2-1顺序旋转示意图

3.第三次旋转

将坐标系绕OX₁轴逆时针以角速度旋转ζ得O-X₂Y₂Z₂（即）。此时如果空间任一点在坐标系和O-X₂Y₂Z₂坐标系各轴上的投影为、X₂=（X₂Y₂Z₂）^T，那么由图2.3-2所示不难得出该点在两坐标系的方向余弦为

式中，M₁（ζ）如式（2.3-5）所示。

根据初等变换矩阵关系，很容易得出O-X₁Y₁Z₁坐标系和O-X₂Y₂Z₂坐标系间的方向余弦矩阵关系：

式中

即

上式即为用欧拉角ξ、η、ζ表示的两坐标系间的方向余弦矩阵。由于任意两坐标系经过旋转至重合的3个角度与旋转次序有关，即根据转动次序的排列数可知共有6种次序，即有6种不同的欧拉角。这样式（2.3-15）中的每一个元素的表达式也就有所不同，但每个元素的值都是一样的。不过，3-2-1的转换顺序，即先后绕OZ、OY、OX的顺序，较为常用；有时，为了描述火箭大倾侧机动飞行情况下的姿态，也采用2-3-1的转换顺序，这里直接写出其方向余弦矩阵如下：