3.4 BOC调制

毋庸置疑，BPSK-R调制在GPS现代化之前的信号中取得了巨大成功。若要进一步提高BPSK-R调制信号的定位精度，增加伪随机噪声码码率是一种有效途径，但伪随机噪声码码率的增加将扩展BPSK-R调制信号的带宽，这无疑会加剧L波段的频谱拥挤程度，设计可频谱共享及降低频谱间互干扰的调制方案成为一种必然选择。2000年左右，BOC调制的提出拉开了卫星导航信号新型调制方案设计的序幕，BOC调制信号的频谱发生分裂，充分利用频带的边界资源，避开了多个信号之间的频谱混叠，在实现频段共用的同时达到了频谱分离的效果。此外，BOC调制的相关函数具有更好的性能，其相关函数比相同码率的BPSK调制方式更加陡峭，从而具有更高的码跟踪精度和更好的多径分辨能力^[21]。

3.4.1 数学模型

图3.6展现了BOC调制信号产生的流程，与BPSK-R调制相比，BOC调制仅在载波调制之前增加了一个BOC调制环节，这使扩频调制后的基带信号的频谱获得了一次重新调整的机会，s_B（t）可表示为

式中，α_k是值为±1的伪随机噪声码序列，其码片宽度为T_C；为如图3.3所示的矩形脉冲信号，其脉宽等于伪随机噪声码码宽T_C；χ（t）为BOC副载波信号，其通常为周期函数，周期为T_S。

由图3.6可以看出，BOC副载波信号χ（t）在BOC调制信号产生过程中起到了关键作用，若χ（t）=1，此时BOC调制就简化为BPSK调制。理论上来说，BOC副载波信号可以为任意周期函数，最常用的是正弦副载波信号χ_sin（t）和余弦副载波信号χ_cos（t），它们的表达式分别为

式中，sgn（·）为符号函数。在图3.7中所示的实线分别为χ_sin（t）和χ_cos（t）的函数波形，它们为周期函数，其周期T_S为

式中，f_S为副载波信号频率。

BOC副载波方波信号是由正弦波形或余弦波形通过符号函数取得的。这两种副载波信号的性能是有所差别的，美国的科研人员通常以正弦取相，而欧洲各国的科研人员常以余弦取相^[18]。在本书中，如果没有特殊说明，默认BOC副载波信号χ（t）以正弦取相。为了简化BOC信号的参数描述，其通常记为BOC（m，n）的形式，意味着副载波信号频率f_S为f₀的m倍，伪随机噪声码码率f_C为f₀的n倍，即

式中，m和n通常取正整数（或者正整数加0.5）。若BOC（m，n）信号采用了正弦副载波信号χ_sin（t），记为BOCs（m，n）；若BOC信号采用了余弦副载波信号χ_cos（t），记为BOCc（m，n）。

无论是正弦副载波信号χ_sin（t），还是余弦副载波信号χ_cos（t），令它们周期T_S的一半为t_S（见图3.7），即

也就是说，t_S为副载波信号一个“码片”的宽度。令一个伪随机噪声码码片的码宽（T_C）与副载波半个周期（t_S）的比值为BOC的调制系数M，即

以M=3为例，图3.8描述了伪随机噪声码码宽T_C、副载波周期T_S及副载波半周期t_S之间的关系，还表明了伪随机噪声码序列α_k与副载波信号χ_sin（t）之间的相位关系^[18]。在该例中，一个伪随机噪声码码片宽度T_C对应3个副载波半周期t_S，将在[0，T_C]的副载波信号χ_sin（t）定义为一个特殊的波形函数，其表达式为

也就是说，是一个由M个长度为t_S、值为±1交替变化的矩形脉冲信号组成的，其总长度为T_C，通常称为码片波形。当M为偶数时，内含有数目相同的正负极性脉冲，其平均值为零。

下面根据所定义的码片波形推导BOC调制基带信号s_B（t）的表达式^[3]，分调制系数M为偶数和奇数两种情况进行。

（1）当调制系数M为偶数时，每个伪随机噪声码码片被偶数个副载波半周期波形所调制，其用于调制每个码片的副载波信号波形是相同的，都是，于是副载波信号函数χ（t）可表示为

将式（3-20）代入式（3-11），得

式（3-21）能够得以简化的原因在于，函数和矩形脉冲信号的长度相同，都等于T_C，并且时间又相互对齐。

（2）当调制系数M为奇数时，观察图3.8，通过归纳法可得到副载波信号函数χ（t）的表达式，即

将式（3-22）代入式（3-11），得

对比BPSK调制基带信号B（t）的表达式（3-5）和当M为偶数时BOC调制基带信号s_B（t）的表达式（3-21），发现两者不但形式上相似，而且和这两个符号的时间长度相等，都刚好等于一个伪随机噪声码码片宽度T_C。既然被称为BPSK-R调制的扩频符号，那么也应当被视为实现BOC调制的扩频符号。对于当M为奇数时BOC调制基带信号s_B（t）的表达式（3-23）而言，若仍将视为BOC调制的扩频符号，则必须对伪随机噪声码序列进行相应改动，即将伪随机噪声码序列由α_k改为（-1）^kα_k，将其视为一个新的伪随机噪声码序列，这样式（3-21）和式（3-23）在形式上就统一了。由于伪随机噪声码序列α_k通常很长，所以改动后的序列（-1）^kα_k与原序列α_k具有接近的自相关和互相关特性^[18]。

前文以正弦副载波信号χ_sin（t）为例，推导了当调制系数M分别为偶数和奇数时BOC调制基带信号s_B（t）的表达式，即式（3-21）和式（3-23）。同理，当副载波信号为余弦取相、调制系数M为偶数时，BOC调制基带信号s_B,cos（t）可表示为

式中，为

当M为奇数时，s_B,cos（t）可表示为

3.4.2 功率谱密度

BOC调制的副载波信号可以取正弦或余弦，调制系数M可以取偶数或奇数，因此可以得到4种BOC调制基带信号s_B（t）的表达式，通过s_B（t）的4种表达式，相应可以得到4种BOC（m，n）调制信号的功率谱密度^[2]，如表3.1所示。

图3.9仿真了多个BOCs（m，n）调制信号的功率谱密度（G_BOCs(m,n)（f））曲线，横坐标轴单位为MHz，纵坐标轴单位为dBW/Hz。由图3.9可以看出，不论调制系数M为何值，BOCs（m，n）调制信号的功率谱密度值在零频位置不再最大，但依然以零频为中心左右对称。我们将BOC调制的功率谱密度曲线中零频左右两边幅值最大的频瓣称为主瓣，将其他幅值相对较小的频瓣称为旁瓣。从图3.9可以归纳出BOCs（m，n）调制信号功率谱密度的几个特点^[3]。

（1）两个频谱主瓣和夹在它们之间旁瓣的总数目为M。例如，BOCs（1，1）调制信号两个主瓣和夹在它们之间旁瓣的总数目M=2，夹在两个主瓣之间的旁瓣数目为0；BOCs（3，2）调制信号两个主瓣和夹在它们之间旁瓣的总数目M=3，夹在两个主瓣之间的旁瓣数目为1；BOCs（5，2）调制信号两个主瓣和夹在它们之间旁瓣的总数目M=5，夹在两个主瓣之间的旁瓣数目为3。

（2）每个主瓣的频宽均为2f_C，即两倍的伪随机噪声码码率f_C。当M＞2时，夹在两个主瓣之间的每个旁瓣的频宽均为f_C。

根据（1）和（2）这两个特点，可以推断出BOCs（m，n）调制信号频谱主瓣的中心频率位于±mf₀处，而且m越大，主瓣越偏离中心零频。

（3）当M为偶数时，由于BOC扩频符号的平均值为0，因而功率谱密度G_BOCs(m,n)（f）在零频处的值就等于0；当M为奇数时，G_BOCs(m,n)（f）在中心零频处的值不为0。

BPSK-R（n）调制信号的带宽为伪随机噪声码码率f_C的两倍，即2f_C或2nf₀。对于BOC（m，n）调制信号而言，最小带宽等于伪随机噪声码码率和副载波信号频率之和的两倍，即2（m+n）f₀^[22]。例如，GPS的L1M信号采用BOC（10，5）调制，该信号的带宽为2×（10+5）×1.023MHz，即30.69MHz。

图3.10为副载波信号分别取正弦方波和余弦方波时BOC（1，1）调制信号的功率谱密度曲线。从图3.10中可以看出，BOCs（1，1）调制信号的主瓣峰值略高于BOCc（1，1）调制信号的主瓣峰值；同时，前者的第一旁瓣峰值又略低于后者的第一旁瓣峰值。此外，BOCs（1，1）调制信号的主瓣峰值所对应的频率低于副载波信号频率，而BOCc（1，1）调制信号的主瓣峰值所对应的频率高于副载波信号频率，因此BOCc调制相对于BOCs调制能将更多的信号功率更远地偏离载波中心频率^[23-25]。

图3.11为BPSK-R（1）调制信号和BOCs（1，1）调制信号的功率谱密度对比曲线，BPSK-R（1）调制信号主瓣的峰值位于零频处，BOCs（1，1）调制信号主瓣的峰值所对应的频率偏移至零频左右两侧，从而使这两类调制信号能够有效地共享同一个卫星导航频段而又互不干扰成为可能^[18]。顺便指出，BOCs（1，1）调制信号的归一化功率谱密度的最大值比BPSK-R（1）调制信号的归一化功率谱密度的最大值小大约3dBW/Hz^[26]。由于BOCs（1，1）调制信号频谱以零频为中心左右对称，即在零频任意一侧的频谱已经包含了可用测距和数据解调的所有信息，因而接收机可以允许只处理BOCs（1，1）调制信号的单侧频谱。在这种接收机对BOC调制信号的边带处理方式中，BOC调制被视为一种PSK-R调制，其偏移载波信号频率等于副载波信号频率，而接下来的信号处理过程与处理BPSK-R调制信号的过程一样^[27]。

3.4.3 性能分析

BOC调制将原本位于载波信号中心频率处的信号频谱搬移到零频左右两侧，使多个具有相同载波频率的信号在频谱上实现了隔离，使不同的信号有效地利用和共享频谱资源，这正是现代化GNSS引入BOC调制技术的原动力。此外，BOC调制还具有以下几个优点^[3,25]。

（1）BOC调制信号具有的二进制和恒包络两个特性使其实现起来非常简单。

（2）调整参数m和n可以产生数量众多的BOC调制信号，这给设计者提供了选择信号的空间。

（3）BOC调制信号频谱在载波信号中心频率左右两侧的重复给信号的捕获、跟踪及数据解调带来了灵活与便利，为设计多种接收机信号捕获与跟踪算法提供了机遇。

（4）BOC调制信号将信号能量偏离中心频率，这增加了信号的有效带宽，有利于提高码跟踪精度、抗干扰及抗多径性能。

（5）与BPSK-R（n）调制相比，BOC（n/2，1）调制自相关函数的主峰较窄，这从另一个角度说明BOC调制信号具有精度更高的码跟踪性能和更好的多径分辨能力。将BPSK-R（n）调制信号与BOC（n/2，1）调制信号相比，是为了让这种比较更公平，因为BPSK-R（n）调制信号的伪随机噪声码码率为nf₀，而BOC（n/2，1）调制信号的副载波信号“码片”码率也是nf₀。

尽管BOC调制具有以上诸多优点，但其也存在不足之处，主要表现在以下两个方面^[3,25]。

（1）当调制系数M较大时，也就是当副载波信号频率f_S远大于伪随机噪声码码率f_C时，BOC调制信号的自相关函数就会出现许多相互靠得很近的峰值，在随机噪声作用下，这种自相关函数峰值的模糊度问题将给接收机的捕获与跟踪带来困难，甚至发生差错。

（2）虽然BOC调制使信号主要频谱能量偏离载波信号中心频率，但是当中心频率左右两侧的频谱分离得太远时，BOC调制信号的不同频率成分会在大气电离层和接收机硬件的弥散介质中产生不同的群波时延，使得信号波形遭到破坏，进而影响接收机的测量和定位性能^[18]。