3.8．解析数论角度特征数为2时扩域函数与非扩域函数才有同构关系

我们再用解析法相邻论来证明哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想关注素数二项式中的素数变量与自然数的关联，黎曼猜想关注幂次流复数中的复数变量与自然数的关联。

黎曼猜想的奥秘是，泽塔方程的多项式连和只有一个均值变量的系数选项可以同构表达2n，有同构关系才可构造解析延拓后的非平凡0点解，否则同态关系时多项式只能构造不等式。

这个线性代数的思想就是：在原函数求和与负项扩域函数求和两者相加的多项式方程中，若实部Res所在位置是多项式方程系数向量平直的一维直线斜率，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么斜率系数改变量的级数向量线性组合就会依然是线性相关的；若改变量Res所在位置是多项式系数向量弯曲的高维流形导数，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么导数系数改变量的级数向量线性组合就是线性无关的。

因为斜率是导数或高阶导数的生成元，在亚纯函数中，互异斜率会对应互异导数，互异斜率会对应互异函数，自然的，互异导数就会对应互异函数。这个性质可由洛必达法则推导得到。如果不能得到常数，还可以迭代多次，进行多阶求导。

黎曼泽塔函数虚部ims的所有解都是与离散点有一一映射关系的极值点，故称是弱解析的连续量。原函数与负项扩域函数的极值之比等于A，即：

f（x）-Ag（x）=0, -1/Af（x）+g（x）=0, g（x）为扩域函数

A就是黎曼泽塔函数指复数函数的实部为1时的均值函数的特征数，其中扩域函数就是均值函数。特征数生成元改变为A+ΔA，则f（x）就发生改变，f（x）-Ag （x）也随之发生改变，也就是说会等于非0。线性算子作用特征向量存在特征值作用均值向量乘以特征数。特征数就是特征向量的项数。

这个结论可由选择公理来印证，新算法会带来新的数集，满足超限数学归纳法，而关于实数域的强连续量本文不予探讨。

含正弦值因子项的都是虚部，显然当每项有两处因子的指数发生变化时，可等价于级数系数因子的导数发生变化，或者说，级数系数因子的曲率相关量发生变化，这个变化量因子系数我们叫它导函数向量，该导函数向量跟级数向量的线性组合除有一个切点斜率满足线性相关外，其他都是线性无关的。

根据通项导函数未变化前，级数的每一项都是剩余项向量的线性组合，可知原系数向量跟级数向量的线性组合是线性相关的。这个可由哈代（Hardy）证明过的黎曼泽塔函数存在无穷个非平凡0点解而得到证实。

同构关系的多项式，各项经数乘和内积运算变换后，多项式的解集仍然还可以是同构关系，因每一次都是纯量数乘，所以同构关系的多项式，各项经用导数性质的对象叉乘和点乘变换后，多项式的解集立马都变成同态关系了。原级数的线性相关就会变成线性无关了。数乘是各项均衡变换，故可延续同构关系，内积是各项不均衡变换，但可做到互补均衡，故也可延续互补关系，但导数的内积和数乘就没有这样的性质，它不是各项的均衡变换，也不是各项互补但左右总量均衡的变换，它是随着各项变量而加速变换的量，由于导数的马太效应，使大值更大，小值相对更小，同构关系的均衡不再继续。

既然原级数系数向量是线性相关的，又已知该级数线性组合不是通过极限获得0值的，只能是正负值抵消得0，即解析延拓后新产生的正负交错级数有了条件收敛。因此可判定，正值项级数和与相反的负值项级数和，相加后会得0。

我们来看黎曼泽塔函数的差分算子。不难发现高阶素数多项式的差分算子，其重要生成元是素数的项数，即特征数，也就是导数差商A就是斜率。当项数超过2时，差分算子就不是原斜率了，而是加上了改变量的斜率或者是加上了改变量的相应导数，正负项不再是原等值变化的单调递增，而是一边越来越大。那两边就是同态关系了，故求和相减后不能收敛于0。

只有差分算子等价于一阶素数二项式时，黎曼泽塔函数才是正负同构等价的。

f (x)的n 阶向前差分公式为：

当系数向量的通项式导数因子发生变化后，级数较小项与级数较大项的和值就会随之发生变化。因为级数系数多项式的导数单调性变化会随着级数值的导数增大而加倍增大，于是级数正负项的和值绝对值增大。由于导函数在各正项值和各负项值上的缩放能力因项值不同而不同，故除1/2外的级数各项指数无论怎么变化，级数的和值都不能得0，因此级数各项指数1/2外的导数所构造的系数向量必跟级数向量的线性组是线性无关的。

通过差分算子的通项再算差分算子，不断迭代进行，就会得到差分算子常数，这个算法也可以用洛必达法则进行多阶求导运算，得到常数A，或其中一个重要公因数。对黎曼泽塔函数求导，会得到重要斜率常数1/2，可见实部常数Res=1/2是黎曼泽塔函数中导数的生成元，改变1/2就是改变黎曼泽塔函数中导数的生成元，Res互异，黎曼泽塔函数的导数即互异。导数互异，求和所得到函数就互异。原1/2对应函数0点，非1/2就对应函数非0点。

在多项式原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，我们把负项扩域求和看成是纯负项扩域求和，而负数部分是多项式的均值乘以特征数。特征数是多项式均值数的倍数，即特征向量的元素个数。其中：

A为线性算子，x为特征向量，x0为均值向量，λ为特征值，t为特征数。

当特征向量x为素数二项式即二维向量时，特征数t就是2, n维向量时，特征数t就是n，该公式是：

Ax=λtx0

t的这一性质是由黎曼泽塔函数的解析延拓性质决定的，有三点，即唯一性，共轭性，保角性。

唯一性说的是扩域值的后继相邻延伸是唯一的；

共轭性说的是扩域值的实部和虚部都有共轭特征；

保角性说的是扩域值的保角变换是恒定的。

角度所对应的斜率就由特征数生成，它的生成元是函数自变量的实部常数Res，根据特征数2可推出原函数的斜率是1/2，把方程左边的斜率移到右边就变成斜率是2的均值函数，这就与哥猜引理一致了：

线性算子作用素数一次二项式与特征数2作用多项式的均值等同（与哥猜等价）。

只有等价时，黎曼泽塔函数才有0点非平凡解，不等价时则无0点非平凡解。若不用这个哥猜等价关系证明黎曼猜想，可用洛必达法则再加上黎曼泽塔函数解析延拓的三性质“唯一性，共轭性，保角性”，以及黎曼和哈代等推出的一些结论，得到生成元与黎曼泽塔函数的实部解有互异映射关系，从而证明黎曼猜想，继而可通过有同构关系的2特征数以及无同构关系的非2特征数，再根据解析延拓的性质来证明哥猜。

若特征数互异，则导数生成元斜率互异；

若斜率互异，则导数互异；

若导数互异，则通项互异；

若通项互异，则通项的级数互异，即函数值互异。

这一性质要重点再证明一下，有没有可能都正负抵消得0？根据解析延拓之保角性可确定这是不可能的，夹角90°保证了内积关系，线性算子作用素数多项式，可变换为特征数作用素数多项式的均值，素数多项式可以不变，单只变特征数，线性算子可以等式两边化约掉，如果原特征数为0，那么变换后的特征数所对应的函数就不会等于0，因此一定是互异的。

反过来推算：

若函数值互异，则通项互异；

因特征数互异，通项互异，则导数互异；

导数互异，则生成元斜率互异；

斜率互异，则特征数互异。

因为原函数互异，解析延拓后求和值即原函数减去均值函数的差值也必互异，均值函数是均值与特征数的乘积。现已知斜率为1/2时，原函数减去均值函数的差值为0，并有无穷组虚部解（哈代已证）。根据互异关系，可得斜率为非1/2时，解析延拓后求和值不能为0。所以黎曼泽塔函数值为0时所对应的实部常数是唯一的，这样根据分析黎曼黎曼泽塔函数性质就可以推理出，所有解都在实部等于1/2的临界线上。因为s=1-s=1/2，实部虚部都有共轭解，既然要共轭又要唯一，那黎曼泽塔函数的实部只能是1的中间数1/2了。这是洛必达法则根据导数的生成元互异，则通项函数互异，则均值变量的特征数互异，则级数的和值互异，从而推得Res实部有唯一非平凡0点解，继而根据黎曼泽塔函数性质，得到实部解为1/2。且这种互异关系是可以双向推导的，从生成元互异推得函数互异，从函数互异可推得生成元互异。

黎曼泽塔函数生成元的实部和虚部到函数值具有一一映射的特征。即一个集合S的映射Φ称为单满映射，集合中不同的元素a、b总是映射到不同元素a＇=Φ （a）、b＇=Φ（b）上。反过来映射也是如此。一一映射指不同元素总是映射到不同元素上。

于是不含1/2常数的导函数向量，跟级数线性向量的线性组必线性无关，此时的黎曼黎曼泽塔函数就没有非平凡0点解。也就是说，当Res＞1/2、Res＜1/2时，黎曼泽塔函数都没有非平凡0点解。这个结论获证，说明所有的解都在临界线上，于是黎曼猜想就得证。

这一线性规律与哥猜引理很相似。只不过哥猜引理更明确，线性相关的特征数是2，而这一线性规律是建立在假设的基础上的，若函数的生成元k有线性相关，则函数的生成元k+Δk就线性无关。现在已知哈代证明了有无数个解在临界线上，故生成元Res=1/2存在线性相关，即有0点非平凡解，那1/2+Δk就线性无关，无0点非平凡解。如此可证明，所有解都在临界线上。于是也就可以反过来证明，线性相关的特征数是2，这就可推理出，不含2因子的特征数乘以均值都仅是所有偶数的子集，更别说有新增偶数，故特征数非2对应的例外偶数是空集，线性变换不扩域，据此就可以证明，哥猜也成立了。

为何黎曼泽塔函数均值变量的特征数是2就可证明例外偶数是空集呢？因为黎曼泽塔函数的均值变量的数乘是解析延拓出来的负数，而它的数乘系数由黎曼泽塔函数的实部决定。由于均值变量乘以特征数2时才有同构关系，特征数2可根据黎曼泽塔函数由生成元1/2构造出来，其他数构造出来的非2数，数乘均值变量后，相较于多项式变量都是同态关系（因为无非平凡0点解）。黎曼泽塔函数的通项决定了这一性质。正负通项的绝对值同构，它们的级数会等量抵消为0，当然非同构的正负通项也可能级数等量抵消，但同态关系的正负通项不可能级数等量抵消，因为一方蕴含另一方，故它们的级数不会等量抵消。因此实部非1/2时的黎曼泽塔函数值不会等于0，唯一等于0时，只能说明变量多项式只有等于2n时，才有同构关系，即所有的偶数都是素数二项式的线性映射，素数二项式的线性映射也都是偶数。再加上素数二项式的线性映射变换不扩域，因为线性变换后所得到的等价新增素数的个数若不等于1时，都不能获得可表偶数的后继偶数，而是会要么过犹要么不及。于是可证明，区别于可表偶数的例外偶数是空集，如此互素型哥猜获证。

因为黎曼猜想证明了一件事：pj+pi=2n未证之前等式左右可能同态可能同构，但如果：

∑（pj+pi）=∑2n，且∑（pj+pi）≠∑kn（k≠2）

此时等式左右互异组合连和后仍数值相等，则：

pj+pi=2n等式左右一定同构。

把作用素数多项式的线性算子带上，也是如此。而黎曼猜想中的解析延拓后出现的负数项，正是均值函数的扩域部分，即特征数乘以均值函数除以项数所得到的数集。解析延拓求和，其本质与广义切萨罗求和是一致的，都是一次确定重排后求极限均值。λtx0是通项函数，当项数趋于n时，均值通项函数是λt，正项均值就是2λ，正负项均值等于2与特征数之差再乘以特征值，即（2-t）λ。当特征数取非2时，黎曼泽塔函数不再有0值，扩域出的负数通项函数不再是-2λn，即：

pj+pi=kn（k≠2）一定不是左右同构等式。

有同态关系的通项，其特征数当且仅当为2时它们的连和有等值关系，那么它们的通项就定有同构关系，因此哥德巴赫猜想成立。体现了一种对称映射的群变换思想。

可见哥猜、孪生素数猜想与黎曼猜想三者之间是可以相互证明的等价命题。

以上从四个角度进行了哥德巴赫猜想的封顶证明。哥猜被证明，意味着数学思想中的核心引擎浮出水面，广义黎曼猜想的证明也就不难，另文表达。相邻论的本质是，远邻关系由近邻关系所决定，地面上的炮弹能远控打中目标，全靠镜面上的准星能微调到位（以上证明应用了相邻论数学工具）。