2.2　课后习题详解

2-1　电路如图2-2-1所示，已知u_S＝100V，R₁＝2kΩ，R₂＝8kΩ。试求以下3种情况下的电压u₂和电流i₂、i₃：

（1）R₃＝8kΩ；

（2）R₃＝∞（R₃处开路）；

（3）R₃＝0（R₃处短路）。

图2-2-1

解：（1）R₂和R₃并联，电阻R＝8/2＝4kΩ，干路电流为i₁，则有

i₁＝u_S/（R₁＋R）＝100/（2＋4）＝（50/3）mA

i₂＝i₃＝i₁/2＝50/6＝8.333mA

u₂＝R₂i₂＝8×（50/6）＝66.667V

（2）R₃＝∞，即R₃处开路，则有i₃＝0

i₂＝u_S/（R₁＋R₂）＝100/（2＋8）＝10mA

u₂＝R₂i₂＝8×10＝80V

（3）R₃＝0，即R₃处短路，则有i₂＝0，u₂＝0

i₃＝u_S/R₁＝100/2＝50mA

2-2　电路如图2-2-2所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：

（1）电压u₂和电流i₂；

（2）若电阻R₁增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？

图2-2-2

解：（1）由图2-2-2可知，R₂和R₃并联，由并联电路电流特性可得

i₂＝R₃i_S/（R₂＋R₃）

所以u₂＝R₂i₂＝R₂R₃i_S/（R₂＋R₃）。

（2）由图2-2-2可知，R₁增大时，其两端电压会随之增大，相应的电流源两端的电压也会变化，即

所以随R₁的增大而增大，但对R₂，R₃，R₄及u_S的电压和电流都没有影响。

2-3　图2-2-3中u_S＝50V，R₁＝2kΩ，R₂＝8kΩ。现欲测量电压u_o，所用电压表量程为50V，灵敏度为1000Ω/V（即每伏量程电压表相当为1000Ω的电阻），问：

（1）测量得u_o为多少？

（2）u_o的真值u_ot为多少？

（3）如果测量误差以下式表示：δ（%）＝[（u_o－u_ot）/u_ot]×100%，问此时测量误差是多少？

图2-2-3

解：（1）电压表的电阻R_V＝5×10⁴Ω。

当测电压时，电压表与R₂并联电阻为

根据分压公式可得

（2）

（3）根据计算公式：δ（%）＝[（u_o－u_ot）/u_ot]×100%＝[（38.7－40）/40]×100%＝－3.1%。

2-4　求图2-2-4所示各电路的等效电阻R_ab，其中R₁＝R₂＝1Ω，R₃＝R₄＝2Ω，R₅＝4Ω，G₁＝G₂＝1S，R＝2Ω。

图2-2-4（a）

图2-2-4（b）

图2-2-4（c）

图2-2-4（d）

图2-2-4（e）

图2-2-4（f）

图2-2-4（g）

解：（1）图2-2-4（a），R₄被短路，原电路等效为R₁、R₂和R₃并联之后，再与R₅串联。

所以R_ab＝（R₁//R₂//R₃）＋R₅＝（1//1//2）＋4＝4.4Ω。

（2）图2-2-4（b），G₁和G₂所在支路的电阻R＝1/G₁＋1/G₂＝2Ω。

所以R_ab＝（R//R₄）＋R₃＝（2//2）＋2＝3Ω。

（3）图2-2-4（c），为一电桥电路，因R₁＝R₂且R₃＝R₄，故其处于平衡电桥，开关的开闭不影响电路的等效电阻。

所以R_ab＝（R₁＋R₃）//（R₂＋R₄）＝（1＋2）//（1＋2）＝1.5Ω。

（4）图2-2-4（d），图最下方的R₂两端电位相等，即处于电桥平衡状态，故R₂可视为开路。

所以R_ab＝（R₁＋R₂）//（R₁＋R₂）//R₁＝（1＋1）//（1＋1）//1＝0.5Ω。

（5）图2-2-4（e）可标记为如图2-2-5（e₁）所示，结点1和1′，2和2′，3、3′和3″是等电位结点，故原电路可简化为如图2-2-5（e₂）所示。

所以R_ab＝2×（R/2＋R/4）＝3R/2＝3Ω。

图2-2-5（e₁）

图2-2-5（e₂）

（6）图2-2-4（f），（1Ω，1Ω，2Ω）和（2Ω，2Ω，1Ω）构成两个Y形连接，分别转化为等值的三角形连接，如图2-2-6所示。

图2-2-6

R₁＝1＋1＋1×1/2＝2.5Ω

R₂＝1＋2＋1×2/1＝5Ω

R₃＝R₂＝5Ω

R₁′＝2＋2＋2×2/1＝8Ω

R₂′＝1＋2＋1×2/2＝4Ω

R₃′＝R₂′＝4Ω

并接两个三角形电路后，可得如图2-2-7所示等效电路。

图2-2-7

等效电阻

R_ab＝[2//（R₂//R₂′）＋R₁//R₁′]//（R₃//R₃′）＝[2//（5//4）＋2.5//8]//（5//4）＝[20/19＋40/21]//（20/9）＝1.269Ω

（7）图2-2-4（g），为一对称电路，若电流从a点流入，b点流出，对应的电流分布如图2-2-8所示。

u_ab＝iR/3＋iR/6＋iR/3＝5iR/6

R_ab＝u_ab/i＝5R/6＝1.667Ω

图2-2-8

2-5　用△-Y等效变换法求图2-2-9中a、b端的等效电阻：

（1）将结点①、②、③之间的三个9Ω电阻构成的△形变换为Y形；

（2）将结点①、③、④与作为内部公共结点的②之间的三个9Ω电阻构成的Y形变换为△形。

图2-2-9

解：（1）将结点①②③之间的三个9Ω电阻由△形变换为Y形后，R_x＝3Ω，等效电路如图2-2-10（a）所示，等效电阻

图2-2-10（a）

图2-2-10（b）

（2）变换后如图2-2-10（b）所示，R_x′＝27Ω，等效电阻

2-6　利用Y-△等效变换求图2-2-11中a、b端的等效电阻。

图2-2-11

解：原电路的等效电路如图2-2-12所示。

则有

所以等效电阻R_ab＝10/11＋1/11＋（1×1）/（1＋1）＝1.5Ω。

图2-2-12

2-7　在图2-2-13（a）所示电路中，u_S1＝24V，u_S2＝6V，R₁＝12kΩ，R₂＝6kΩ，R₃＝2kΩ。图2-2-13（b）为经电源变换后的等效电路。

（1）求等效电路的i_S和R；

（2）根据等效电路求R₃中电流和消耗功率；

（3）分别在图2-2-13（a）、（b）中求出R₁、R₂及R₃消耗的功率；

（4）试问u_S1、u_S2发出的功率是否等于i_S发出的功率？R₁、R₂消耗的功率是否等于R消耗的功率？为什么？

图2-2-13

解：（1）利用电源的等效变换，可将电压源转换为电流源，如图2-2-14所示。

图2-2-14

i_S1＝u_S1/R₁＝24/12＝2mA，i_S2＝u_S2/R₂＝6/6＝1mA

所以i_S＝i_S1＋i_S2＝2＋1＝3mA，R＝R₁//R₂＝（12×6）/（12＋6）＝4kΩ；

（2）根据等效电路，R与R₃并联：R//R₃＝（4/3）kΩ，所以u＝i_S×（R//R₃）＝3×4/3＝4V；

则R₃的电流和消耗的功率分别为

i₃＝u/R₃＝4/2＝2mA，P₃＝R₃i₃²＝2×2²＝8mW

（3）①图2-2-13（a），R₁、R₂两端的电压分别为

u₁＝u_S1－u＝24－4＝20V，u₂＝u_S2－u＝6－4＝2V

R₁、R₂、R₃消耗的功率分别为

P₁＝u₁²/R₁＝20²/12＝100/3＝33.33mW

P₂＝u₂²/R₂＝2²/6＝0.67mW

P₃＝R₃i₃²＝2×2²＝8mW

②图2-2-13（b），R消耗的功率为：P＝u²/R＝4²/4＝4mW；

图（a）、（b）中R₃消耗的功率相等。

（4）图2-2-13（a），u_S1、u_S2发出的功率分别为

图2-2-13（b），i_S发出的功率为

计算得：

又由（3）知P≠P₁＋P₂；

所以u_S1、u_S2发出的功率不等于i_S发出的功率，R₁、R₂消耗的功率也不等于R消耗的功率。

这是因为电源作等效变换仅是对外部等效，在图2-2-13（a）、（b）所示两个电路中，R₃中的电流、电压和功率是相同的。对被变换部分内部，则并不等效。

2-8　求图2-2-15所示电路中对角线电压U及总电压U_ab。

图2-2-15

解：将图2-2-15中10Ω，8Ω，2Ω三电阻构成的△形等效为Y形，如图2-2-16所示。

图2-2-16

R₁＝8×2/（10＋8＋2）＝0.8Ω

R₂＝2×10/（10＋8＋2）＝1Ω

R₃＝10×8/（10＋8＋2）＝4Ω

所以等效电阻R＝（10＋R₃）//（5＋R₂）＋R₁＝5Ω，U_ab＝i·R＝4×5＝20V；

则有

i₁＝i×（10＋R₃）/（5＋R₂＋10＋R₃）＝4×（10＋4）/（5＋1＋10＋4）＝2.8A

i₂＝i×（5＋R₂）/（5＋R₂＋10＋R₃）＝4×（5＋1）/（5＋1＋10＋4）＝1.2A

建立KVL方程：i₂×10＋U－i₁×5＝0⇒U＝5i₁－10i₂＝5×2.8－10×1.2＝2V。

2-9　图2-2-17所示为由桥T电路构成的衰减器。

（1）试证明当R₂＝R₁＝R_L时，R_ab＝R_L，且有u_o/u_i＝0.5；

（2）试证明当R₂＝2R₁R_L²/（3R₁²－R_L²）时，R_ab＝R_L，并求此时电压比u_o/u_i。

图2-2-17

证明：（1）当R₂＝R₁＝R_L时，电桥处于平衡状态，可等效为如图2-2-18（a）所示。

R_ab＝（R₁＋R₁）//（R₂＋R_L）＝R_L

u_o＝u_i/2，即u_o/u_i＝0.5；

命题得证。

图2-2-18（a）

图2-2-18（b）

（2）将由三个R₁构成的Y形变换为△形，R＝3R₁，如图2-2-18（b）所示。

R_L′＝R_L//R＝3R₁R_L/（3R₁＋R_L）

所以u_o/u_i＝（3R₁－R_L）/（3R₁＋R_L）；

命题得证。

2-10　在图2-2-19（a）中，u_S1＝45V，u_S2＝20V，u_S4＝20V，u_S5＝50V，R₁＝R₃＝15Ω，R₂＝20Ω，R₄＝50Ω，R₅＝8Ω；在图2-2-19（b）中u_S1＝20V，u_S5＝30V，i_S2＝8A，i_S4＝17A，R₁＝5Ω，R₃＝10Ω，R₅＝10Ω。利用电源的等效变换求图2-2-19（a）、（b）中的电压u_ab。

图2-2-19

解：利用电源的等效转换，将图2-2-19（a）、（b）的电压源转换为电流源与电阻并联的形式。

图2-2-20（a₁）

图2-2-20（a₂）

图2-2-20（b₁）

图2-2-20（b₂）

（1）图2-2-19（a）转换为图2-2-20（a₁），则有

i_S1＝u_S1/R₁＝45/15＝3A

i_S2＝u_S2/R₂＝20/20＝1A

i_S4＝u_S4/R₄＝20/50＝0.4A

i_S5＝u_S5/R₅＝50/8＝6.25A

进一步将所有电流源合并，所有电阻并联得图2-2-20（a₂）所示，则有

i_S＝i_S1＋i_S2－i_S4＋i_S5＝3＋1－0.4＋6.25＝9.85A

R＝R₁//R₂//R₃//R₄//R₅＝15//20//15//50//8＝（600/197）Ω

因此u_ab＝i_SR＝9.85×600/197＝30V。

（2）同理可得图2-2-19（b）中的电压u_ab

i_S＝i_S1＋i_S2－i_S4＋i_S5＝4＋8－17＋3＝－2A

R＝R₁//R₃//R₅＝5//10//10＝2.5Ω

u_ab＝i_S×R＝－2×2.5＝－5V

2-11　利用电源的等效变换，求图2-2-21所示电路的电流i。

图2-2-21

解：利用电源的等效变换可得图2-2-22。

图2-2-22

则有：i₁＝2.5/10＝0.25A，i＝i₁/2＝0.125A。

2-12　利用电源的等效变换，求图2-2-23所示电路中电压比u_o/u_S。已知R₁＝R₂＝2Ω，R₃＝R₄＝1Ω。

图2-2-23

解：利用电源等效变换，对图2-2-23中u_S、R₁、R₂进行变换

u_S′＝（u_S/R₁）·[R₁R₂/（R₁＋R₂）]＝u_S/2

R＝R₁R₂/（R₁＋R₂）＝1Ω

等效图如图2-2-24所示。

图2-2-24

对图2-2-24建立KVL方程：iR＋u₃＋2u₃R₄＋iR₄＝u_S/2；

其中u₃＝R₃i，代入上式得：i＝u_S/10；

则有u_o＝2u₃R₄＋R₄i＝2×u_S/10＋u_S/10＝3u_S/10；

所以u_o/u_S＝3/10＝0.3。

2-13　图2-2-25所示电路中R₁＝R₃＝R₄，R₂＝2R₁，CCVS的电压u_c＝4R₁i₁，利用电源的等效变换求电压u₁₀。

图2-2-25

解：将原电路图2-2-25右边回路等效为一个受控电压源和电阻的串联，等效图如图2-2-26所示。

图2-2-26

其中R＝（R₃＋R₄）//R₂＝（2R₁）//（2R₁）＝R₁；

对图2-2-26回路建立KVL方程

（R₁i₁＋Ri₁＋u_CR/R₂）＝u_S，即2R₂i₁＋4R₁i₁×R₁/（2R₁）＝u_S；

解得：i₁＝u_S/（4R₁）；

所以u₁₀＝u_S－R₁i₁＝u_S－u_S/4＝3u_S/4。

2-14　试求图2-2-27（a）、（b）的输入电阻R_ab。

图2-2-27

解：（1）设图2-2-27（a）中电流参考方向如图2-2-28（a）所示，对回路建立KVL方程

u_ab＝R₂i－μu₁＋R₁i＝R₂i－μ（R₁i）＋R₁i＝（R₁＋R₂－μR₁）i

所以a，b端的输入电阻：R_ab＝u_ab/i＝R₁＋R₂－μR₁。

图2-2-28

（2）设图2-2-27（b）电路中电流参考方向如图2-2-28（b）所示，由回路KVL、KCL方程可得

u_ab＝R₁i₁＋R₂i₂＝R₁i₁＋R₂（i₁＋βi₁）

所以a，b端的输入电阻

R_ab＝u_ab/i₁＝R₁＋R₂（1＋β）

2-15　试求图2-2-29（a）、（b）的输入电阻R_i。

图2-2-29

解：（1）图2-2-29（a），在1、1′两端施加电压u_S，干路电流如图2-2-30（a）所示。

建立KCL方程：i₁＋βi₁＋i－u_S/R₂＝0；

其中i₁＝－u_S/R₁，代入方程得：[（1＋β）/R₁＋1/R₂]u_S＝i；

所以

图2-2-30

（2）图2-2-29（b），在1、1′两端施加电压u_S，干路电流如图2-2-30（b）所示。

则有：u₁＝－u_S，u_S＝R₁i₁－μu₁＝R₁i₁＋μu_S，i₁＝i－u_S/R₃；

整理得

2-16　图2-2-31所示电路中全部电阻均为1Ω，求输入电阻R_i。

图2-2-31

解：右边5个电阻构成的回路是电桥回路，因电阻相等，电桥平衡，所以可将最右边的电阻看成开路，原电路可依次等效为如图2-2-32所示。

图2-2-32

建立KVL方程：u＝1.6i－1.2i＝0.4i，所以R_i＝u/i＝0.4Ω。