1.2　课后习题详解

1-1　说明图1-2-1（a）、（b）中：

（1）u、i的参考方向是否关联？

（2）ui乘积表示什么功率？

（3）如果在图1-2-1（a）中u＞0、i＜0，图1-2-1（b）中u＞0、i＞0，元件实际发出还是吸收功率？

图1-2-1

解：（1）当电流的参考方向与元件两端电压降落方向一致时，称u、i参考方向关联。因此，图1-2-1（a）中u，i的参考方向关联；图1-2-1（b）中u、i的参考方向非关联。

（2）一个元件或电路在电压电流是关联参考方向下，功率是吸收功率；否则，为发出功率。因此，图1-2-1（a）中ui乘积表示元件吸收的功率；图1-2-1（b）中ui乘积表示元件发出的功率。

（3）在关联参考方向下，ui＞0时，元件实际吸收功率，ui＜0时，元件实际发出功率；在非关联参考方向下，ui＞0，元件实际发出功率，ui＜0，元件实际吸收功率。图1-2-1（a）中ui＜0，元件实际发出功率；图1-2-1（b）中ui＞0，元件实际发出功率。

1-2　在图1-2-2（a）与（b）中，试问对于N_A与N_B，u、i的参考方向是否关联？此时乘积ui对N_A与N_B分别意味着什么功率？

图1-2-2

解：根据关联参考方向、功率吸收和发出的相关概念可得：

图1-2-2（a），对于N_A，u、i的参考方向非关联，乘积ui对N_A意味着发出功率；对于N_B，u，i的参考方向关联，乘积ui对N_B意味着吸收功率。

图1-2-2（b），对于N_A，u、i的参考方向关联，乘积ui对N_A意味着吸收功率；对于N_B，u，i的参考方向非关联，乘积ui对N_B意味着发出功率。

1-3　求解电路以后，校核所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即一部分元件发出的总功率应等于其他元件吸收的总功率。试校核图1-2-3中电路所得解答是否正确。

图1-2-3

解：A元件的电压与电流参考方向非关联，功率为发出功率，其他元件的电压与电流方向关联，功率为吸收功率。

总发出功率：P_A＝60×5＝300W；

总吸收功率：P_B＋P_C＋P_D＋P_E＝60×1＋60×2＋40×2＋20×2＝300W；

显然，总发出功率和总吸收功率是相等的，所以整个电路功率是平衡的。

1-4　在指定的电压u和电流i的参考方向下，写出图1-2-4所示各元件的u和i的约束方程（即VCR）。

图1-2-4

解：图1-2-4（a）是电阻元件，u、i参考方向关联，由欧姆定律可得

u（t）＝Ri（t），u＝Ri＝10⁴i

图1-2-4（b）是电阻元件，u、i参考方向非关联

u（t）＝－Ri（t），u＝－Ri＝－10i

图1-2-4（c），u与电压源的激励电压方向相同，u＝10V；

图1-2-4（d），u与电压源的激励电压方向相反，u＝－5V；

图1-2-4（e），i与电流源的激励电流方向相同，i＝10×10^－3A；

图1-2-4（f），i与电流源的激励电流方向相反，i＝－10×10^－3A。

1-5　试求图1-2-5中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。

图1-2-5

解：（1）图1-2-5（a）所示

电压源u、i参考方向非关联，发出功率：P_U＝U_SI＝15×2＝30W；

电阻元件吸收功率：P_R＝I²R＝2²×5＝20W，U_R＝IR＝2×5＝10V；

电流源u、i参考方向关联，吸收功率：P_I＝U_II＝（U_S－U_R）I＝（15－10）×2＝10W。

（2）图1-2-5（b）所示

I_R＝U_R/R＝U_S/R＝15/5＝3A，U_S＝U_R＝U_I，I_U＝I_R－I_S＝3－2＝1A

电阻元件吸收功率：P_R＝I_R²R＝3²×5＝45W；

电流源u、i参考方向非关联，发出功率：P_I＝I_SU_I＝2×15＝30W；

电压源u、i参考方向非关联，发出功率：P_U＝I_UU_S＝1×15＝15W。

（3）图1-2-5（c）所示

U_S＝U_R＝U_I＝15V，I_S＝2A，I_R＝U_R/R＝15/5＝3A，I_U＝I_S＋I_R＝2＋3＝5A

电阻吸收功率：P_R＝I_R²R＝3²×5＝45W；

电流源u、i参考方向关联，吸收功率：P_I＝I_SU_I＝2×15＝30W；

电压源u、i参考方向非关联，发出功率：P_U＝I_UU_S＝5×15＝75W。

1-6　以电压U为纵轴，电流I为横轴，取适当的电压、电流标尺，在同一坐标上：画出以下元件及支路的电压、电流关系（仅画第一象限）。

（1）U_S＝10V的电压源，如图1-2-6（a）所示；

（2）R＝5Ω线性电阻，如图1-2-6（b）所示；

（3）U_S、R的串联组合，如图1-2-6（c）所示。

图1-2-6

图1-2-7

解：（1）理想电压源的电压恒定，与电流无关：U＝U_S＝10V。

（2）电阻元件的电压、电流满足欧姆定律：U＝IR＝5I。

（3）根据基尔霍夫电压定律：U_S＝U＋U_R＝U＋IR，即U＝U_S－IR＝10－5I。

取电压标尺为4V/cm，电流标尺为1A/cm，各元件及支路的伏安特性如图1-2-7所示。

1-7　图1-2-8中各元件的电流I均为2A。

（1）求各图中支路电压；

（2）求各图中电源、电阻及支路的功率，并讨论功率平衡关系。

图1-2-8

解：（1）各图支路电压为

U_a＝IR＋U_S＝2×2＋12＝16V

U_b＝－IR＋U_S＝－2×2＋12＝8V

U_c＝IR－U_S＝2×2－12＝－8V

U_d＝－IR－U_S＝－2×2－12＝－16V

（2）①图1-2-8（a），标准电压源和电阻的u、i参考方向都关联，都吸收功率

P_R＝I²R＝2²×2＝8W，P_S＝U_SI＝12×2＝24W

支路吸收功率：P＝U_aI＝16×2＝32W；

P_R＋P_S＝P，所以功率平衡。

②图1-2-8（b），电阻吸收功率：P_R＝I²R＝8W；

标准电压源的u、i参考方向非关联：P_S＝U_SI＝24W；

支路发出功率：P＝U_bI＝16W；

功率平衡关系：P＝P_S－P_R。

③图1-2-8（c），电阻吸收功率：P_R＝I²R＝8W；

标准电压源u、i参考方向非关联，发出功率：P_S＝U_SI＝24W；

支路吸收功率：P＝U_CI＝－16W，即放出功率16W；

功率平衡关系：－P＝P_S－P_R。

④图1-2-8（d），标准电压源和电阻的u、i参考方向都关联，都吸收功率

P_R＝I²R＝2²×2＝8W，P_S＝U_SI＝12×2＝24W

支路放出功率：P＝U_dI＝－32W，即吸收功率32W；

P_R＋P_S＝－P，所以功率平衡。

1-8　试求图1-2-9中各电路的电压U，并分别讨论其功率平衡。

图1-2-9

解：（1）图1-2-9（a），I_R＝8A，U＝U_R＝2×I_R＝2×8＝16V；

所以输入电路的吸收功率：P＝U×I＝32W；

电流源发出功率：P_I＝6×U＝6×16＝96W；

电阻吸收功率：P_R＝2×I_R²＝2×8²＝128W；

因为P＝P_R－P_I，所以功率平衡。

（2）图1-2-9（b），I_R＝6－2＝4A，U＝U_R＝2×I_R＝2×4＝8V；

所以输入电路的发出功率：P＝U×I＝16W；

电流源发出功率：P_I＝6×U＝6×8＝48W；

电阻吸收功率：P_R＝2×I_R²＝2×4²＝32W；

因为P＝P_I－P_R，所以功率平衡。

（3）图1-2-9（c），I_R＝2－4＝－2A，U＝U_R＝3×I_R＝3×（－2）＝－6V；

所以输入电路的吸收功率：P＝U×I＝－12W；

电流源吸收功率：P_I＝4×（－6）＝－24W；

电阻吸收功率：P_R＝3×I_R²＝3×（－2）²＝12W；

因为P＝P_I＋P_R，所以功率平衡。

（4）图1-2-9（d），I_R＝5－3＝2A，U＝U_R＝4×I_R＝4×2＝8V；

所以输入电路的吸收功率：P＝U×I＝40W；

电流源吸收功率：P_I＝3×U＝3×8＝24W；

电阻吸收功率：P_R＝4×I_R²＝4×（2）²＝16W；

因为P＝P_I＋P_R，所以功率平衡。

1-9　图1-2-10中各受控源是否可看为电阻？并求各图中a、b端口的等效电阻。

图1-2-10

解：（1）图1-2-10（a），受控源可看作是电阻，设支路总电流为I，则U＝20（I－0.2U），即5U＝20I，所以等效电阻为：R_ab＝U/I＝4Ω。

（2）图1-2-10（b），受控源可看作电阻，U＝IR＝20I，支路总电流I_ab＝3I，所以等效电阻为：R_ab＝U_ab/I_ab＝20/3＝6.67Ω。

（3）图1-2-10（c），由于受控源电压与电流参考方向非关联，且受控源电压为5I，因此CCVS可看做电阻，其阻值为：R_eq＝－5I/I＝－5Ω。

所以等效电阻为：R_ab＝R_eq＋10＝－5＋10＝5Ω。

（4）图1-2-10（d），受控源可以看成电阻，U_ab＝10U₁＋U₁＝11U₁＝11×20I＝220I，I_ab＝I，所以等效电阻为：R_ab＝U_ab/I_ab＝220Ω。

1-10　电路如图1-2-11所示，试求：

（1）图（a）中，i₁与u_ab；

（2）图（b）中，u_cb。

图1-2-11

解：（1）由图1-2-11（a）可得：0.9i₁＝10/5＝2A，则有：i₁＝2/0.9≈2.222A；

所以u_ab＝4×i_ab＝4×（i₁－0.9i₁）＝4×0.1×（20/9）≈0.889V。

（2）由图1-2-11（b）可得：u₁＝5×2＝10V，则有：i＝0.05u₁＝0.5A；

所以U_cb＝U_ca＋U_ab＝20×（－0.5）－3＝－13V。

1-11　我国自葛洲坝水电站至上海的高压直流输电线示意图如图1-2-12。输电线每根对地耐压为500kV，导线容许电流为1kA。每根导线电阻为27Ω（全长1088km）。试问当首端线间电压U₁为1000kV时，可传输多少功率到上海？传输效率是多少？

图1-2-12

解：根据题意可知：U₂＝U₁－2IR＝1000－2×1×27＝946kV＝9.46×10⁵V；

所以传输功率为：P＝U₂I＝9.46×10⁵×1＝9.46×10⁵kW；

传输效率为：η＝（u₂I）/（u₁I）＝（u₂/u₁）×100%＝（946/1000）×100%＝94.6%。

1-12　对图1-2-13所示电路，若：

（1）R₁、R₂、R₃不定；

（2）R₁＝R₂＝R₃。

在以上两种情况下，尽可能多地确定各电阻中的未知电流。

图1-2-13

解：如图1-2-14电流标注所示。

图1-2-14

（1）当R₁、R₂、R₃不定时，流过它们的电流也是不定的；i₄＝3＋4－6＝1A；i₅＝i₄＋2－（－10）＝13A。

（2）当R₁＝R₂＝R₃时，i₄＝3＋4－6＝1A，i₅＝i₄＋2－（－10）＝13A。

对右边回路和B、C点分别列出KVL、KCL方程

代入R₁＝R₂＝R₃并整理得

解得：i₁＝（10/3）A，i₂＝（1/3）A，i₃＝（－11/3）A。

1-13　在图1-2-15所示电路中，已知u₁₂＝2V，u₂₃＝3V，u₂₅＝5V，u₃₇＝3V，u₆₇＝1V，尽可能多地确定其他各元件的电压。

图1-2-15

解：对各回路列出KVL方程

U_a＝u₁₅＝u₁₂＋u₂₅＝2＋5＝7V

U_k＝u₁₃＝u₁₂＋u₂₃＝2＋3＝5V

U_f＝u₅₆＝u₂₃＋u₃₇－u₆₇－u₂₅＝3＋3－1－5＝0V

U_e＝u₃₆＝u₃₇－u₆₇＝3－1＝2V

U_i＝u₅₇＝u₅₆＋u₆₇＝0＋1＝1V

所以各元件的电压为：U_a＝7V；U_b＝2V；U_c＝5V；U_d＝3V；U_e＝2V；U_f＝0V；U_g不定；U_h不定；U_i＝1V；U_j＝1V；U_k＝5V。

1-14　对上题所示电路，指定各支路电流的参考方向，然后列出所有结点处的KCL方程，并说明这些方程中有几个是独立的。

解：各支路电流的参考方向指定如图1-2-16所示。对各结点列出KCL方程：

①i_a＋i_b＋i_k＝0

②－i_b＋i_c＋i_d＝0

③－i_d＋i_e＋i_g－i_k＝0

④－i_g＋i_h＝0

⑤－i_a－i_c＋i_f＋i_i＝0

⑥－i_e－i_f＋i_j＝0

⑦－i_j－i_i－i_h＝0

以上7个方程相加，可得0＝0，所以这7个方程不是相互独立的，但是其中任意6个是相互独立的。

图1-2-16

1-15　电路如图1-2-17所示，该电路可列KVL的回路共有7个。试按给定支路电流的参考方向列出这些KVL方程。并找出其中三组独立方程（每组中方程应尽可能多）。

图1-2-17

解：作出电路的图及各支路参考方向如图1-2-18（a）所示。取顺时针方向，可得到7个不同的回路如图1-2-18所示。

图1-2-18

于是可分别列回路KVL方程如下：

l₁：R₃i₃－u_S3－R₄i₄－R₂i₂＝0

l₂：R₂i₂＋R₅i₅－u_S5＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₃：R₄i₄＋R₆i₆＋u_S5－R₅i₅＝0

l₄：R₃i₃－u_S3－R₄i₄＋R₅i₅－u_S5＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₅：R₃i₃－u_S3＋R₆i₆＋u_S5－R₅i₅－R₂i₂＝0

l₆：R₂i₂＋R₄i₄＋R₆i₆＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₇：R₃i₃－u_S3＋R₆i₆＋u_S1＋R₁i₁＝0

由这些方程可以看出：l₆＝l₂＋l₃，l₄＝l₁＋l₂，l₅＝l₁＋l₃，l₇＝l₁＋l₂＋l₃。显然这些KVL方程并非相互独立，独立回路的数目可由公式l＝b－n＋1决定，由于本题中支路数b为6，结点数n为4，因此可有3个回路构成独立回路组。例如：l₁，l₂，l₃；l₂，l₃，l₇；l₂，l₃，l₄等。

1-16　电路如图1-2-19所示，试求每个元件发出或吸收的功率。

图1-2-19

解：（1）图1-2-19（a），由KVL可得：U＝IR＋2U，解得U＝－1V；

电阻吸收功率：P_R＝I²R＝0.5²×2＝0.5W；

电压源吸收功率：P_U＝－UI＝－（－1）×0.5＝0.5W；

受控源发出功率：P＝2UI＝2×（－1）×0.5＝－1W，发出功率1W。

（2）图1-2-19（b），设流经1Ω电阻的电流为I₂，由KCL可得：I₂＝I₁＋2I₁＝3I₁，所以由KVL得：2＝2×I₁＋1×3I₁，解得I₁＝0.4A。

1Ω电阻吸收功率：P₁＝（I₁＋2I₁）²R₁＝（3×0.4）²×1＝1.44W；

2Ω电阻吸收功率：P₂＝I₁²R₂＝0.4²×2＝0.32W；

电压源发出功率：P_U＝U_SI₁＝2×0.4＝0.8W；

受控源发出功率：P＝2I₁U＝2I₁U₁＝2×0.4×1.2＝0.96W。

1-17　利用KCL与KVL求图1-2-20中I（提示：利用KVL将180V电源支路电流用I来表示，然后在结点①写KCL方程求解）。

图1-2-20

解：设流经20Ω电阻的电流为I₁，方向向右，根据基尔霍夫电压定律可得：20I₁＋180＝15I，所以I₁＝（15I－180）/20，列写节点①的KCL方程，得2＋I＋I₁＝0，将I₁表达式代入其中，解得I＝4A。

1-18　（1）已知图1-2-21（a）中，R＝2Ω，i₁＝1A，求电流i；

（2）已知图1-2-21（b）中，u_S＝10V，i₁＝2A，R₁＝4.5Ω，R₂＝1Ω，求i₂。

图1-2-21

解：（1）由图1-2-21（a）可列KVL方程：10＋5i₁－iR＝0。

代入已知条件得：i＝7.5A。

（2）由图1-2-21（b）可列KVL方程

代入已知条件得i₂＝6A。

1-19　试求图1-2-22所示电路中控制量I₁及电压U₀。

图1-2-22

解：设R₁＝1kΩ，R₂＝6kΩ，流经R₂的电流为I₂，方向向下，R₃＝5kΩ，流经的电流为I₃，U_S＝20V，列KVL、KCL方程

解得：I₁＝5mA，I₂＝2mA，I₃＝3mA，U₀＝15V。

1-20　试求图1-2-23所示电路中控制量u₁及电压u。

图1-2-23

解：设电路流经电流为I，方向为顺时针，建立KVL方程：2＝10³I＋10⁴I＋10u₁①

由图1-2-23可知：u₁＝10⁴I＋10u₁②

联立式①②得：u₁＝20V，u＝200V。