4.3　名校考研真题详解

一、选择题

1如图4-3-1所示电路，电流i＝（　　）。[电子科技大学2016研]

A．1.6A

B．1A

C．－1.6A

D．－1A

图4-3-1

【答案】C

【解析】当仅有1A电流源作用时，i′＝－[3/（2＋3）]×1＝－0.6A；当仅5V电压源作用时，i″＝－5/（2＋3）＝－1A。利用叠加原理，有i＝i′＋i″＝－1.6A。

2电路如图4-3-2所示，N为含源线性电阻网络。负载电阻R_L与其所消耗的功率P之间的关系曲线如图4-3-2所示，则网络N的戴维南等效内阻R_eq为（　　）。[电子科技大学2016研]

图4-3-2

A．1Ω

B．2Ω

C．3Ω

D．4Ω

【答案】A

【解析】由最大功率传输定理可知，当R_L＝R_eq时，负载取得最大功率。又根据P-R曲线读得此时R_eq＝R_L＝1Ω。

二、填空题

如图4-3-3所示电路，N为线性含源网络，当U_s＝10V时，测得I＝2A；U_s＝20V时，测得I＝6A；则当U_s＝－20V时，I应为______。[电子科技大学2016研]

图4-3-3

【答案】－10A

【解析】由叠加定理，设I＝AU_s＋B，代入数据得

解得I＝0.4U_s－2，当U_s＝－20V时，I＝－10A。

三、简答题

（1）戴维宁定理如何描述；

（2）将如图4-3-4所示电路画成以ab为端口的戴维宁等效电路。[电子科技大学2016研]

图4-3-4

答：（1）一个线性含源二端网络，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代，这一等效电路称为戴维宁等效电路。

（2）其中电压源电压等于该二端网络的开路电压u_oc，而电阻等于该二端网络的去源之后的等效电阻R_eq。在图4-3-4所示电路中u_oc＝1.5V，R_eq＝（15/8）Ω。故可作戴维宁等效电路如图4-3-5所示。

图4-3-5

四、计算题

1图4-3-6所示电路。

（1）求ab端口的戴维南等效电路；

（2）若非线性电阻的伏安特性为u＝i²＋0.5i－0.75（u、i单位分别为V、A），计算静态工作点处的动态电阻。[南京航空航天大学2018研]

图4-3-6

解：（1）首先求ab端口的开路电压u_oc。如图4-3-7（a）所示选择参考结点并标明独立结点，结点电压分别为、，结点电压方程为

考虑CCCS的增补方程为，所求开路电压即。联立以上各式解得u_oc＝－0.75V。

图4-3-7（a）

再求ab端口以外的等效电阻。将内部独立源置零（电压源短路）并外施电压源U_S，将左端电阻网络简化为R_总＝（2//2＋1）//2Ω＝1Ω，如图4-3-7（b）所示选取回路，回路电流分别为、，回路电流方程为

考虑CCCS的增补方程

且。联立以上各式，得R_eq＝U_S/I_S＝1.5Ω。由以上可得ab端口的戴维南等效电路如图4-3-7（c）所示。

图4-3-7（b）

图4-3-7（c）

（2）由KVL得方程－0.75＝1.5i＋u＝1.5i＋i²＋0.5i－0.75，解得i＝－2A或0A（舍去），此时动态电阻为R_dy＝u/i＝（i²＋0.5i－0.75）/（－2）＝－1.125Ω。

2图4-3-8所示电路中当R为多大时它吸收的功率最大？最大功率是多少？[广东工业大学2018研]

图4-3-8

解：首先求电阻R两端以外电路的等效电阻。将独立电压源置零，有R_eq＝10//（10//10＋10//10）＝5Ω，故当R＝R_eq＝5Ω时它吸收的功率最大。如图4-3-9所示选取参考结点和标明独立结点。

图4-3-9

结点①、②的电压分别为、，可得结点电压方程为

解得，故

3在图4-3-10所示电路中，N为一线性不含独立源的电阻网络，已知R＝R₁时，I₁＝5A，I₂＝2A；R＝R₂时，I₁＝4A，I₂＝1A。求R＝∞时I₁的值。[西安电子科技大学2017研]

图4-3-10

解：U₁、U₂如图4-3-11所示。

图4-3-11

记R＝R₁时电路中各值为I(∧)₁、I(∧)₂、U(∧)₁、U(∧)₂，R＝R₂时电路中各值为I(～)₁、I(～)₂、U(～)₁、U(～)₂，R＝∞时电路中各值为I₁、I₂、U₁、U₂。根据特勒根定理

由题可知I(∧)₁＝5A，I(∧)₂＝2A，I(～)₁＝4A，I(～)₂＝1A，I₂＝0，U(∧)₁＝U(～)₁＝U₁＝－u_s。故

解得I₁＝3A。

4如图4-3-12所示电路，已知网络N吸收的功率P_N＝2W，求电流i。[西安电子科技大学2017研]

图4-3-12

解：由替代定理，可用一个u_s＝u的电压源替代网络N，并且该电压源的电流电压为关联参考方向，而电路中其他部分的电压电流各值保持不变，如图4-3-13所示。

图4-3-13

电路的回路电流方程为

且，P_N＝ui＝2W。联立以上各式，解得i＝1A或i＝2A。

5用叠加定理求解图4-3-14所示电路中的支路电流I。[华南理工大学2017研]

图4-3-14

解：当10V电压源单独作用时：I^（1）＝10/（1＋4）＝2A。

当5A电流源单独作用时：I^（2）＝1×5/（1＋4）＝1A。

当15V电压源单独作用时：I^（3）＝0。

因此总电流I为：I＝I^（1）＋I^（2）＋I^（3）＝3A。

6如图4-3-15所示电路，当R＝12Ω时，其上电流为I，若要求I增至原来的三倍，而电路中除R以外的其他部分均不变，计算此时的电阻R。[西安电子科技大学2017研]

图4-3-15

解：由于电路中除R以外的其他部分均不变，故可将R两端以外的电路1-1′看为一个含源一端口按戴维宁定理进行简化，如图4-3-16（a）所示。

图4-3-16（a）

则1-1′端的开路电压

u_oc＝[2/（2＋2）－6/（6＋3）]u_s＝－u_s/6

将电压源短路，得从1-1′看入的等效电阻

R_eq＝[2×2/（2＋2）＋3×6/（6＋3）]＝3Ω

得戴维宁等效电路如图4-3-16（b）所示。由此可得

I＝－（u_s/6）/（3＋R）

当I′＝3I时，得

解得R′＝（R－6）/3。

将R＝12Ω代入上式得此时电阻应为2Ω。

图4-3-16（b）

7图4-3-17所示电路N中仅含有直流电源和线性电阻，已知当I_s＝0A时，U＝－2V；当I_s＝2A时，U＝0V。当开关闭合后，若I＝6A，求I_s为何值？[重庆大学2016研]

图4-3-17

解：对网络N作戴维宁等效，开路电压为U_oc，等效电阻R₀。开关闭合前，当I_s＝0A，U＝－2V时，作等效图如图4-3-18（a）所示，当I_s＝2A，U＝0V时作等效图如图4-3-18（b）所示。

图4-3-18（a）

图4-3-18（b）

分别列KVL方程可得

解得U_oc＝12V，R₀＝4Ω。

因此，开关闭合后作等效图如图4-3-18（c）所示。

图4-3-18（c）

电压源产生的电流I₂＝12/4＝3A，则I₁＝I－I₂＝3A。

在图4-3-18（d）中可求得

I_s＝I₁＋2I₁/6＝4A

图4-3-18（d）

8如图4-3-19所示电路，求R_L等于多少时获最大功率，求得最大功率为多少？[西安交通大学2016研]

图4-3-19

解：首先求电阻R_L两端的戴维宁等效电路。可先对左半部分电路进行等效变换以化简电路，再通过外施电压法进行求解，求解电路如图4-3-20所示。列结点电压方程

图4-3-20

解得U_S＝16－4.5I_S，即U_oc＝16V，R_eq＝4.5Ω。故当R_L＝R_eq＝4.5Ω时可获得最大功率，最大功率为P_max＝U_oc²/（4R_eq）＝14.22W。

9图4-3-21所示电路中，已知当U_s1＝3V时，电压U＝4V。当U_s1＝6V、其他条件均保持不变时，求电压U的值。[重庆大学2016研]

图4-3-21

解：电路可等效为图4-3-22（a）根据叠加原理，当U_s1＝3V时，设电压源U_s1和含源网络N产生的电压响应分别为U₁′和U₁″。

图4-3-22（a）

当U_s1单独作用时，图4-3-22（a）中，含源网络N中的电压源短路，电流源断路。可得图4-3-22（b）所示等效电路。由图4-3-22（b）列KVL方程2×0.5I＋（1＋1）×I＝3，解得I＝1A，则U₁′＝1×I＝1V。

网络N的响应电压U₁″＝4－1＝3V。

图4-3-22（b）

当U_s1＝6V时，根据电路的线性性质，电压源单独作用的响应U₂′＝1×6/3＝2V。由于网络N未发生变化，因此U₂″＝U₁″＝3V。

根据叠加定理，可求得此时电压U＝U₂′＋U₂″＝2＋3＝5V。

10如图4-3-23所示电路，N为无源线性纯电阻网络，求U(∧)_S1的功率并说明是吸收还是发出。[西安交通大学2016研]

图4-3-23

解：标明各参量方向如图4-3-24（a）、（b）所示。根据特勒根定理2，得

U₁i(∧)₁＋U₂i(∧)₂＋U₃i(∧)₃＝U(∧)₁i₁＋U(∧)₂i₂＋U(∧)₃i₃

将已知值带入，得15i(∧)₁＝－2U(∧)₁－10×3＋20×4。

图4-3-24（a）

图4-3-24（b）

解得：U(∧)₁＝25－7.5i(∧)₁。故可将图4-3-24（c）等效为如图所示电路。

图4-3-24（c）

当25V电压源单独作用时，有

i(∧)_S1^（1）＝－[25/（3＋7.5＋1）]×（1/2）＝－1.09A

当U(∧)_S1单独作用时，有

由叠加定理，有：i(∧)_S1＝i(∧)_S1^（1）＋i(∧)_S1^（2）＝1.63A。故U(∧)_S1发出的功率为

11在图4-3-25（a）所示的电路中，网络N₀内不含独立源和受控源，仅含线性时不变电阻。已知I_S1＝1A，R₂＝2Ω，电流源I_S1的端电压为U₁；当端口2-2′开路后的电路如图4-3-25（b）所示，其中U_oc＝3V，R_out＝1Ω，电流源I_S1的端电压为U₁^（1）。若在图4-3-25（b）中维持电流源I_S1的端电压仍为U₁，试求此时与电流源I_S1串接电阻R₁的值。[武汉大学2015研]

图4-3-25（a）

图4-3-25（b）

解：由图4-3-25（b）可得从端口2-2′看进去的戴维宁等效电路如图4-3-26（a）所示。

图4-3-26（a）

由此可得图4-3-25（a）中的电流I₂为

I₂＝U_oc/（R_out＋R₂）＝3/（1＋2）＝1A

根据特勒根定理2，知题中两电路之间的关系有

－U₁I_S1＋0＝－U₁^（1）I_S1＋U_ocI₂

代入电路中各参数有：U₁^（1）＝U₁＋3。

将电流源I_S1串接电阻R₁后的电路如图4-3-26（b）所示。

图4-3-26（b）

为维持电流源I_S1的端电压仍为U₁，可列回路KVL方程

U₁＋3＝R₁I_S1＋U₁

解得：R₁＝3Ω。

12如图4-3-27所示电路中，若R为8Ω，R获得的功率最大，试确定R_x的值及R获得的最大功率。[西安交通大学2015研]

图4-3-27

解：首先求电阻R两端的戴维宁等效电路。

开路电压u_oc＝20×20/（30＋20）＝8V。

由外施电源法求等效电阻的电路如图4-3-28所示。

图4-3-28

列KVL方程有

u_S＝（i－3i）R_x＋20×30i/（20＋30）＝（12－2R_x）i_S

R_eq＝u_S/i_S＝12－2R_x

当R＝R_eq时R获得的功率最大，即：12－2R_x＝8，R_x＝2Ω。

R获得的最大功率为P_max＝u_oc²/（4R_eq）＝82/（4×8）＝2W。

13图4-3-29所示无源电阻网络P在U_S＝8V、I_S＝2A时，开路电压U_AB＝0V；当U_S＝8V、I_S＝0A时，开路电压U_AB＝6V，短路电流为6A。则当U_S＝0、I_S＝2A时，且AB间接入9Ω电阻时，电流I为多少？[北京交通大学2014研]

图4-3-29

解：首先求AB端左侧电路的戴维宁等效电路。由齐性定理，开路电压响应U_AB可看为电源U_S和I_S的线性叠加，即

U_AB＝K₁U_S＋K₂I_S

根据已知两组数据，有

解得：K₁＝0.75，K₂＝－3。故当U_S＝0、I_S＝2A时，开路电压

U_AB＝－3×2＝－6V

由第二组数据可知，AB两端的等效电阻为R_eq＝U_oc/I_sc＝6/6＝1Ω。

则AB两端左侧电路可等效为开路电压U_AB＝－6V、等效电阻1Ω的戴维宁等效电路。

接入9Ω电阻后I＝－6/（1＋9）＝－0.6A。

14图4-3-30所示电路，N为含独立电源的线性电阻网路，当R＝0时，I₁＝1.75A，I₂＝3A；当R＝12Ω时，I₁＝1A，I₂＝0.75A。试确定R为何值时，I₁＝1.25A。[西安交通大学2015研]

图4-3-30

解：设U₂与I₂取关联参考方向。设电阻R两端的戴维宁等效电路开路电压为u_oc，等效电阻为R_eq，则根据已知条件有

解得：u_oc＝12V，R_eq＝4Ω。

由叠加定理和齐性定理，响应I₁可看做网络N引起的响应和u₂引起的响应的叠加，且与u₂引起的响应成正比，N引起的响应不变，即：I₁＝I_N＋Ku₂。根据已知条件

当I₁＝1.25A时，有：I₁＝1.75－u₂/12＝1.25，解得：u₂＝6V。

再由戴维宁等效电路：I₂＝（12－u₂）/4＝1.5A，故此时电阻R为：R＝U₂/I₂＝4Ω。

15已知图4-3-31所示电路中R₁＝2Ω，R₂＝1Ω，u_S1＝50V，

求两个安培表的读数。[北京交通大学2014研]

图4-3-31

解：（1）当u_S1单独作用时，电路如图4-3-32所示。

图4-3-32

采用“追赶法”，设i₂′＝1A，则

u_ao＝2V，i_ao＝2A，i_ba＝i_ao＋i₂^（1）＝3A

u_bo＝2i_ba＋u_ao＝8V，i_bo＝8A，i_cb＝i_bo＋i_ba＝11A

u_co＝2i_cb＋u_bo＝30V，i_co＝30A，i_dc＝i_co＋i_cb＝41A

u_do＝2i_dc＋u_co＝112V，i_do＝112A，i₁′＝i_do＋i_dc＝153A

u_S1′＝2i₁′＋u_do＝418V

实际u_S1＝50V，故：k^（1）＝u_S1/u_S1′＝50/418＝0.12，实际电流i₁^（1）、i₂^（1）分别为

i₁^（1）＝k^（1）i₁′＝0.12×153＝18.36A

i₂^（1）＝k^（1）i₂′＝0.12×1＝0.12A

（2）当u_S2单独作用时，由于中间电路为结构相同的线性电阻网络，根据互易定理

两电流的有效值分别为：I₁^（2）＝0.024A，I₂^（2）＝3.67A。

（3）根据叠加定理，电路的总响应为两电源分别同时作用时的响应之和，而有效值为

因此安培表A₁的读数为18.36A，A₂的读数为3.67A。

16图4-3-33所示直流电路中，网络N为不含独立电源的线性电阻网络。当I_S＝1A，U_S＝0时，U＝（4/3）V；当I_S＝2A，U_S＝10V时，U＝4V。求当I_S＝3A，U_S＝30V时，电压U为多少？[哈尔滨工业大学2013研]

图4-3-33

解：设从网络N左侧、右侧流出的电流分别为I₁、I₂，左侧、右侧电压分别为U₁、U₂。

根据第一组数据：I₁＝U/4－I_S＝（－2/3）A，U₁＝（4/3）V，U₂＝0。

根据第二组数据：I(∧)₁＝U(∧)/4－I(∧)_S＝－1A，U(∧)₁＝4V，U(∧)₂＝10V。

根据第三组数据：I(～)₁＝U(∧)/4－I(～)_S＝U(∧)/4－3，U(～)₁＝U为待求量，U(～)₂＝30V。

根据特勒根定理2

代入已知数据，有

解得：U＝4V。

17图4-3-34所示电路，已知U_S＝5V，R＝100Ω，β＝1，α＝1，P为纯电阻网络，当R₂＝∞时，I＝（1/25）A，U₂＝4V；当R₂＝100Ω时，端口a-b左侧的电路向右侧电路输出最大功率。求：

（1）端口a-b左侧电路的戴维南等效电路；

（2）改变R₂使得电阻R₂上获得最大功率，问此最大功率为多少？[浙江大学2013研]

图4-3-34

解：（1）先求开路电压：当a-b开路，I＝0，βI＝0，整个回路中无电流，故

u_oc＝U_S＋U＝10V

再求等效电阻：将U_S置零，在a-b端口外施电压源，如图4-3-35（a）所示。

图4-3-35（a）

解得：R_eq＝u_S/i_s＝R＝100Ω。

a-b端口左侧电路的戴维南等效电路如图4-3-35（b）所示。

图4-3-35（b）

（2）求电阻R₂两端的戴维南等效电路。当R₂＝∞时，U₂＝4V，故开路电压为：u_oc2＝4V。求等效电阻使用特勒根定理。当R₂分别为∞、100Ω、0时的电路如图4-3-35（c）、（d）、（e）所示。

图4-3-35（c）

图4-3-35（d）

图4-3-35（e）

图4-3-35（c）中：U₁＝10－100I₁＝6V。

图4-3-35（d）中，由于此时ab端输出最大功率，因此：U(∧)₁/I₁＝R_eq＝100Ω，又：U(∧)₁＝10－100I(∧)₁。解得：I(∧)₁＝（1/20）A，U(∧)₁＝5V。

对图4-3-35（c）、（d）使用特勒根定理2

U₁（－I(∧)₁）＋U₂I(∧)₂＝U(∧)₁（－I₁）＋U(∧)₂I₂

－6/20＋4I(∧)₂＝5（－1/25）

解得：I(∧)₂＝（1/40）A，U(∧)₂＝100I(∧)₂＝（5/2）V。

图4-3-35（e）中，U(～)₁＝10－100I(～)₁，U(～)₂＝0。

对图4-3-35（c）、（e）使用特勒根定理2

U₁（－I(～)₁）＋U₂I(～)₂＝U(～)₁（－I₁）＋U(～)₂I₂

－6I(～)₁＋4I(～)₂＝（10－100I(～)₁）（－1/25）

对图4-3-35（d）、（e）使用特勒根定理2

U(∧)₁（－I(～)₁）＋U(∧)₂I(～)₂＝U(～)₁（－I(∧)₁）＋U(～)₂I(∧)₂

－5I(～)₁＋5I(～)₂/2＝（10－100I(～)₁）（－1/20）

由以上两式解得：I(～)₂＝i_sc2＝（1/15）A。

因此等效电阻为：R_eq2＝4/（1/15）＝60Ω。

故当R₂＝R_eq2＝60Ω时，可取得最大功率

P_max＝u_oc2²/（4R_eq2）＝4²/（4×60）＝（1/15）W

18图4-3-36所示二端口N中含有理想变压器，求二端口网络N的导纳参数矩阵Y。[哈尔滨工业大学2013研]

图4-3-36

解：根据电路可列方程

整理成Y参数的标准形式

故Y矩阵为