3.2　课后习题详解

3-1　在以下两种情况下，画出图3-2-1所示电路的图，并说明其结点数和支路数：

（1）每个元件作为一条支路处理；

（2）电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。

图3-2-1

解：（1）每个元件作为一条支路，图3-2-1（a）（b）可简化为如图3-2-2（a₁）（b₁）所示的拓扑结构。

（a₁）中结点数n＝6，支路数b＝11；（b₁）中结点数n＝7，支路数b＝12。

（2）电压源（独立或者受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路，图3-2-1（a）（b）可简化为如图3-2-2（a₂）（b₂）所示的拓扑结构。

（a₂）中结点数n＝4，支路数b＝8；（b₂）中结点数n＝5，支路数b＝9。

图3-2-2

3-2　指出题3-1中两种情况下，KCL、KVL独立方程各为多少？

解：（1）图3-2-2（a₁）中，独立的KCL方程个数为n－1＝5，独立的KVL方程个数为b－n＋1＝6；

图3-2-2（b₁）中，独立的KCL方程个数为n－1＝6，独立的KVL方程个数为b－n＋1＝6。

（2）图3-2-2（a₂）中，独立的KCL方程个数为n－1＝3，独立的KVL方程个数为b－n＋1＝5；

图3-2-2（b₂）中，独立的KCL方程个数为n－1＝4，独立的KVL方程个数为b－n＋1＝5。

3-3　对图3-2-3（a）、（b），各画出4个不同的树，树支数各为多少？

图3-2-3

解：图3-2-3（a）中不同的4个树，如图3-2-4（a）所示，树枝数都为5个。

图3-2-4（a）

图3-2-3（b）中不同的4个树，如图3-2-4（b）所示，树枝数都为5个。

图3-2-4（b）

3-4　图3-2-5所示桥形电路共可画出16个不同的树，试一一列出（由于结点数为4，故树支数为3，可按支路号递增的穷举方法列出所有可能的组合，如123，124，…，126，134，135，…，从中选出树）。

图3-2-5

解：16个不同树的支路组合为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6）。

3-5　对图3-2-3所示的G₁和G₂，任选一树并确定其基本回路组，同时指出独立回路数和网孔数各为多少？

解：分析可得：基本回路数＝独立回路数＝网孔数。

在一个连通图中，若结点数为n，支路数为b，那么独立回路数l＝b－n＋1，即为独立的KVL方程数。

图3-2-3（a），独立回路数为5，相应的基本回路数和网孔数也为5。选择树（2，5，7，8，9）为例，则基本回路组为：（2，3，5），（8，9，10），（5，6，7，8，9），（1，2，5，7，8），（4，5，7，8）。

图3-2-3（b），独立回路数为6，相应的基本回路数和网孔数也为6。选择树（4，6，8，9，10）为例，则基本回路组为：（2，9，10），（3，4，6，8），（4，6，8，10，11），（4，7，8），（1，6，8，9，10），（5，6，9，10）。

3-6　对图3-2-6所示非平面图，设：（1）选择支路（1，2，3，4）为树；（2）选择支路（5，6，7，8）为树。

问独立回路各有多少？求其基本回路组。

图3-2-6

解：回路中结点数n＝5，支路数b＝10，所以独立回路数l＝b－n＋1＝6。

（1）选择（1，2，3，4）为树，形成的基本回路为（1，2，3，4，5），（1，2，3，7），（1，2，6），（2，3，9），（3，4，10），（2，3，4，8）。

（2）选择（5，6，7，8）为树，形成的基本回路为（1，5，8），（2，5，6，8），（3，6，7），（4，5，7），（5，7，8，9），（5，6，10）。

3-7　图3-2-7所示电路中R₁＝R₂＝10Ω，R₃＝4Ω，R₄＝R₅＝8Ω，R₆＝2Ω，u_S3＝20V，u_S6＝40V，用支路电流法求解电流i₅。

图3-2-7

解：由图3-2-7可得：n＝4，b＝6，则独立回路数l＝6－4＋1＝3。

各支路电流的参考方向和结点的标注如图3-2-8所示。

图3-2-8

建立KCL，KVL方程

结点①：i₁＋i₂＋i₆＝0；

结点②：－i₂＋i₃＋i₄＝0；

结点③：－i₄＋i₅－i₆＝0；

回路Ⅰ：i₂R₂＋i₃R₃－i₁R₁＝－u_S3；

回路Ⅱ：i₄R₄＋i₅R₅－i₃R₃＝u_S3；

回路Ⅲ：－i₂R₂－i₄R₄＋i₆R₆＝－u_S6；

解得：i₅≈－0.956A。

3-8　用网孔电流法求解图3-2-7中电流i₅。

解：设图3-2-7中网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的网孔电流分别为i_l1、i_l2、i_l3，绕行方向为顺时针，则建立网孔电流方程

解得：i₅＝i_l2≈－0.956A。

3-9　用回路电流法求解图3-2-7中电流i₃。

解：回路如图3-2-9所示，电流绕行方向取顺时针，建立回路方程

代入数值解得：i₃＝i_l2≈－1.552A。

图3-2-9

3-10　用回路电流法求解图3-2-10中5Ω电阻中的电流i。

图3-2-10

图3-2-11

解：选择网孔为基本回路，回路电流参考方向为顺时针，如图3-2-11所示。

建立回路方程

解得：i＝i_l3＝2.4A。

3-11　用回路电流法求解图3-2-12所示电路中电流I。

图3-2-12

图3-2-13

解：选择如图3-2-13所示的基本回路，建立回路方程

解得：i_l2＝0.5A，i_l3＝1.5A；

所以I＝i_l2＝0.5A。

3-12　用回路电流法求解图3-2-14所示电路中电流I_α及电压U_o。

图3-2-14

图3-2-15

解：选择网孔为基本回路，如图3-2-15所示，建立回路电流方程

解得：i₂＝－1A，i₁＝5i₂＝－5A，i₃＝1.4i₁＝－7A；

所以I_α＝－i₁＝5A，U_o＝4i₁＋8i₂－14＝－42V。

3-13　用回路电流法求解：

（1）图3-2-16（a）中的U_x；

（2）图3-2-16（b）中的I。

图3-2-16

解：（1）回路电流的参考方向如图3-2-17（a）所示，建立回路电流方程

解得

所以U_x＝32×（i₂－i₃）＝32×（0.65－0.4）＝8V。

图3-2-17（a）

图3-2-17（b）

（2）回路电流的参考方向如图3-2-17（b）所示，建立回路电流方程

解得：i₃＝－2.5A；

所以I＝i₃＋i₂＝1A。

3-14　用回路法求解图3-2-18所示电路中I_x以及CCVS的功率。

图3-2-18

图3-2-19

解：回路电流参考方向如图3-2-19所示，建立回路电流方程

补充方程：I₃＝I_x；

整理得

解得：i₂＝5A，i₃＝3A；

所以I_x＝i₃＝3A，元件CCVS的功率P＝10I_x（i₂－i₁）＝0。

3-15　列出图3-2-20（a）、（b）所示电路的结点电压方程。

图3-2-20

解：（1）图3-2-20（a），结点的编号如图3-2-21（a）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，则可列结点电压方程

图3-2-21

（2）图3-2-20（b），结点的编号如图3-2-21（b）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②的电位分别为u_n1、u_n2，则可列结点电压方程

整理得

3-16　列出图3-2-22（a）、（b）所示电路的结点电压方程。

图3-2-22

解：（1）图3-2-22（a），结点的编号如图3-2-23（a）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②的电位分别为u_n1、u_n2，则可列结点电压方程

整理得

图3-2-23

（2）图3-2-22（b），结点的编号如图3-2-23（b）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②的电位分别为u_n1、u_n2，则可列结点电压方程

整理得

3-17　图3-2-24所示为由电压源和电阻组成的一个独立结点的电路，用结点电压法证明其结点电压为

u_n1＝（∑G_ku_Sk）/（∑G_k）

此式又称为弥尔曼定理。

图3-2-24

证明：利用电源的等效变换，经电压源等效为电流源，等效电流源为

因为只有一个独立结点，所以不存在互导。结点①的自导为

结点的电压方程为：G₁₁u_n1＝i_S11；

所以

命题得证。

3-18　列出图3-2-25（a）、（b）所示电路的结点电压方程。

图3-2-25

解：（1）图3-2-25（a），结点的编号如图3-2-26（a）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，则可列结点电压方程

整理得

图3-2-26

（2）图3-2-25（b），结点的编号如图3-2-26（b）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，将无伴电压源看成是电流为i的电流源，方向由负到正，则可列结点电压方程

补充方程

整理得

3-19　用结点电压法求解图3-2-27所示电路中各支路电流。

图3-2-27

解：（1）图3-2-27（a），结点的编号如图3-2-28（a）所示，选结点⓪为参考结点，则可列结点电压方程

整理得

解得：u_n1＝9V，u_n2＝10V；

各支路电流

i₁＝（10－u_n1）/0.5＝2A

i₂＝（u_n1－u_n2）/1＝－1A

i₃＝u_n1/3＝3A

i₄＝u_n2/5＝2A

图3-2-28

（2）图3-2-27（b），结点的编号如图3-2-28（b）所示，选结点⓪为参考结点，则可列结点电压方程

整理得

解得

各支路电流

i_a＝（15－u_n1）/4＝1.891A

i_b＝u_n1/6＝1.239A

i_c＝（u_n1－u_n2）/1＝0.652A

i_d＝u_n2/3＝2.261A

i_e＝（u_n2－10）/2＝－1.609A

3-20　图3-2-29所示电路中电源为无伴电压源，用结点电压法求解电流I_S和I_O。

图3-2-29

图3-2-30

解：如图3-2-30所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为U_n1、U_n2、U_n3，则可列结点电压方程

解得：U_n2＝18V，U_n3＝12V；

所以I_S＝（U_n1－U_n2）/5＋（U_n1－U_n3）/（3＋9）＝（48－18）/5＋（48－12）/12＝9A，I_O＝（U_n3－U_n2）/2＝（12－18）/2＝－3A。

3-21　用结点电压法求解图3-2-31所示电路中电压U。

图3-2-31

图3-2-32

解：如图3-2-32所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为U_n1、U_n2、U_n3，则可列结点电压方程

补充方程：I＝U_n2/20；

解得：U＝U_n2＝32V。

3-22　用结点电压法求解题3-13。

解：（1）如图3-2-33（a）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，则可列结点电压方程

解得：U_n2＝8V，U_n3＝6V；

即U_x＝U_n2＝8V。

图3-2-33（a）

图3-2-33（b）

（2）如图3-2-33（b）所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，则可列结点电压方程

经整理可得到

解得：U_n3＝－35V，I＝U_n3/35＝－1A。

3-23　用结点电压法求解题3-14。

解：（1）如图3-2-34所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为U_n1，U_n2，U_n3，则可列结点电压方程

补充方程：U_n1＝U_n2＋10I_x，U_n3＝10I_x＋30；

解得：U_n1＝50V，U_n2＝20V，U_n3＝60V，I_x＝3A；

流过受控电压源中的电流为

I_CS＝－[U_n2/10＋（U_n2－U_n3）/20]＝－[20/10＋（20－60）/20]＝0

因此，CCVS的功率为0。

图3-2-34

3-24　用结点电压法求解图3-2-35所示电路后，求各元件的功率并检验功率是否平衡。

图3-2-35

图3-2-36

解：如图3-2-36所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②、③的电位分别为u_n1、u_n2、u_n3，则可列结点电压方程

对结点⓪，建立KCL方程得：I₁＝u_n2/1＋I₁/3；

化简，得：I₁＝1.5u_n2；

解得：u_n3＝u_n2＝2V；

电流I₁＝1.5u_n2＝3A；

电阻吸收的总功率为

6V电压源发出的功率为：P₂＝6×I₁＝6×3＝18W；

12V电压源发出功率为：P₃＝12×I₁/3＝12×3/3＝12W；

受控电流源吸收的功率为：P₄＝（u_n3＋12）×I₁/3＝14×3/3＝14W；

综上，吸收的电功率总和与发出的电功率总和相等，所以电路的功率是平衡的。

3-25　用结点电压法求解图3-2-37所示电路中u_n1和u_n2，你对此题有什么看法？

图3-2-37

图3-2-38

解：如图3-2-38所示，选结点⓪为参考结点，设结点①、②的电位分别为u_n1、u_n2，则可列结点电压方程

补充方程：u₁＝u_n1；

整理得

无解，说明该电路模型不符合实际情况。

3-26　列出图3-2-39所示电路的结点电压方程。如果R_S＝0，则方程又如何？（提示：为避免引入过多附加电流变量，对连有无伴电压源的结点部分，可在包含无伴电压源的封闭面S上写出KCL方程）

图3-2-39

解：（1）对S面和结点④列KCL方程

根据各个结点电压关系建立如下补充方程

整理得

（2）当R_S＝0时，u_n1＝u_S1，变量仅有u_n4，即结点④的方程为

－G₆u_n1－G₅u_n3＋（G₄＋G₅＋G₆）u_n4＝I_S①

补充方程可简化为

将补充方程代入方程①得

（G₄＋G₅＋G₆）u_n4＝I_S＋（G₅＋G₆－G₂G₅R_m）U_S1＋G₅（1－R_mG₂）U_S2