§2　柱面和锥面

2.1　柱面方程的建立

定义2.1　一条直线l沿着一条空间曲线C平行移动时所形成的曲面称为柱面，其中l称为母线，C称为准线.

按定义，平面也是柱面.

对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除去平面外）.与每一条母线都相交的曲线均可作为准线.

设一个柱面的母线方向为υ（l,m，n）T，准线C的方程为

我们来求这个柱面的方程.

点M（x,y，z）T在此柱面上的充分必要条件是M在某一条母线上，即有准线C上一点M0（x0，y0，z0）T，使得M在经过M0，且方向向量为υ的直线上（如图3.7）.因此有

消去x0，y0，z0，得

再消去参数u，得到x,y，z的一个方程，它就是所求柱面的方程.

如果给的是准线C的参数方程

则同理可得柱面的参数方程为

2.2　圆柱面，点的柱面坐标

现在来看圆柱面的方程.圆柱面有一条对称轴l，圆柱面上每一个点到轴l的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径.圆柱面的准线可取成一个圆C，它的母线方向与准线圆垂直.如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用2.1小节中所述方法求出圆柱面的方程.如果知道圆柱面的半径为r，母线方向为υ（l,m，n）T，以及圆柱面的对称轴l0经过点M0（x0，y0，z0）T，则点M（x,y，z）T在此圆柱面上的充分必要条件是M到轴l0的距离等于r，即

由此出发可求得圆柱面的方程.特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴，则这个圆柱面的方程为

x2+y2=r2.（2.3）

几何空间中任意一点M（x,y，z）T必在以为半径，z轴为对称轴的圆柱面上.如图3.8所示，显然这个圆柱面的参数方程为

因此，圆柱面上的点M被数对（θ，u）所确定，从而几何空间中任一点M被有序三元实数组（r，θ，u）所确定.（r，θ，u）T称为点M的柱面坐标.点M的柱面坐标与它的直角坐标的关系是

2.3　柱面方程的特点

从（2.3）式看到，母线平行于z轴的圆柱面的方程中不含z（即z的系数为零）.这个结论对于一般的柱面也成立，即我们有

定理2.1　若一个柱面的母线平行于z轴（x轴或y轴），则它的方程中不含z（x或y）；反之，一个三元方程如果不含z（x或y），则它一定表示一个母线平行于z轴（x轴或y轴）的柱面.

证明　设一个柱面的母线平行于z轴，则这个柱面的每条母线必与Oxy平面相交，从而这个柱面与Oxy平面的交线C可以作为准线.设C的方程是

点M在此柱面上的充分必要条件是，存在准线C上一点M0（x0，y0，z0）T，使得M在经过M0且方向向量为υ（0，0，1）T的直线上（如图3.9）.因此有

消去x0，y0，z0，得

由于参数u可以取任意实数值，于是得到这个柱面的方程为

f（x,y）=0.

反之，任给一个不含z的三元方程g（x,y）=0，我们考虑以曲线

为准线，z轴方向为母线方向的柱面.由上述讨论知，这个柱面的方程为g（x,y）=0.因此，方程g（x,y）=0表示一个母线平行于z轴的柱面.

母线平行于x轴和y轴的情形可类似讨论.

例如，方程x表示母线平行于z轴的柱面，它与Oxy平面的交线为

这条交线是椭圆，因而这个柱面称为椭圆柱面（如图3.10）.

类似地，方程

分别表示母线平行于z轴的双曲柱面（如图3.11）、抛物柱面（如图3.12）.

2.4　锥面方程的建立

定义2.2　在空间中，由曲线C上的点与不在C上的一个定点M0的连线组成的曲面称为锥面，其中M0称为顶点，C称为准线，C上的点与M0的连线称为母线（如图3.13）.

一个锥面的准线不唯一，锥面上与每一条母线都相交的曲线均可作为准线.

设一个锥面的顶点为M0（x0，y0，z0）T，准线C的方程为

我们来求这个锥面的方程.

点M（x,y，z）T（M≠M0）在此锥面上的充分必要条件是M在一条母线上，即准线上存在一点M1（x1，y1，z1）T，使得M1在直线M0M上（如图3.13）.因此有

消去x1，y1，z1，得

再消去u，得到x,y，z的一个方程，它就是所求锥面（除去顶点）的方程.

2.5　圆锥面

对于圆锥面，它有一根对称轴l，它的每一条母线与轴l所成的角都相等，这个角称为圆锥面的半顶角.与轴l垂直的平面截圆锥面所得交线为圆.如果已知准线圆方程和顶点M0的坐标，则用2.4小节所述方法可求得圆锥面的方程.如果已知顶点的坐标和轴l的方向向量υ以及半顶角α，则点M（x,y，z）T在圆锥面上的充分必要条件是

因此有

由（2.5）式可求得圆锥面的方程.

例2.1　求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程.

解　显然，这个圆锥面的顶点为原点O.设轴l的一个方向向量为υ.因为三根坐标轴为母线，所以由（2.5）式得

因此，轴l的一个方向向量υ的坐标为（1，1，1）T或（1，1，-1）T或（1，-1，1）T或（1，-1，-1）T.考虑υ的坐标为（1，1，1）T，其余三种情形可类似讨论.

因为点M（x,y，z）T在这个圆锥面上的充分必要条件是

即

于是得

xy+yz+xz=0.（2.6）

这就是所求的一个圆锥面的方程.

2.6　锥面方程的特点

方程（2.6）的特点是“每一项都是二次的”，称之为二次齐次方程.如果令F（x,y，z）=xy+yz+xz，则有

F（tx,ty,tz）=t2（xy+yz+xz）=t2F（x,y，z）.（2.7）

关系式（2.7）可反映方程（2.6）是二次齐次方程的这一特点.一般地，有

定义2.3　F（x,y，z）称为x,y，z的n次齐次函数（n是整数），如果

F（tx,ty,tz）=tnF（x,y，z）

对于定义域中的一切x,y，z以及任意非零实数t都成立.此时，方程F（x,y，z）=0称为x,y，z的n次齐次方程.

定理2.2　x,y，z的齐次方程表示的曲面（添上原点）一定是以原点为顶点的锥面.

证明　设F（x,y，z）=0是n次齐次方程，它表示的曲面添上原点后记作S.在S上任取一点M0（x0，y0，z0）T，M0不是原点.于是直线OM0上任一点M1≠O的坐标（x1，y1，z1）T适合

从而有

F（x1，y1，z1）=F（x0t,y0t,z0t）=tnF（x0，y0，z0）=0.

因此M1在S上.于是整条直线OM0都在S上，所以S是由经过原点的一些直线组成的.这说明S是锥面.

定理2.3　在以锥面的顶点为原点的直角坐标系中，锥面可以用x,y，z的齐次方程表示.

证明从略.

习题　3.2

1.求半径为2，对称轴为x=y/2=z/3的圆柱面的方程.

2.设圆柱面的对称轴为

且已知点M1（1，-2，1）T在这个圆柱面上，求这个圆柱面的方程.

3.已知圆柱面的三条母线为

x=y=z,x+1=y=z-1，x-1=y+1=z，

求这个圆柱面的方程.

4.求柱面的方程：

（1）准线为

母线平行于x轴；

（2）准线为

母线的方向向量为（1，-1，1）T；

（3）准线为

母线的方向向量为（-1，0，1）T；

（4）准线为

母线垂直于准线所在的平面.

5.求准线为

的圆柱面的方程.这样的圆柱面有几个？

6.求顶点为（1，2，3）T，轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，且母线与轴所成的角为π/6的圆锥面的方程.

7.求顶点为M0（1，2，4）T，轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点M1（3，2，1）T的圆锥面的方程.

8.给定球面x2+y2+z2+2x-4y+4z-20=0，求以（2，6，10）T为顶点的切锥面的方程.

9.求锥面的方程：

（1）顶点为（4，0，-3）T，准线为

（2）顶点为原点，准线为

（3）顶点为原点，准线为

（4）顶点为（0，0，2R）T，准线为

10.已知锥面S的顶点为（2，5，4）T，S与Oyz平面的交线为一圆，这个圆的圆心为（0，1，1）T，半径为2，求这个锥面的方程.

11.已知球面x2+y2+z2=1的外切柱面的母线垂直于平面x+y-2z-5=0，求这个柱面的方程.*

*12.证明：球面的外切柱面是圆柱面.

13.过x轴和y轴分别作动平面，交角α是常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面.*