第三章 教育和健康关系的理论模型

第一节 健康资本、教育和经济增长

一 引言

健康与教育是人力资本积累的两种不同方式，一个更健康、有着更高教育水平的社会，其生产率水平也更高。但长期以来，无论是在宏观领域分析人力资本对经济增长的贡献，还是在微观领域分析人力资本的提高对个体收入的影响，教育对人力资本提高的作用普遍受到了人们的重视，健康的作用和地位受到忽视，健康对教育的促进作用也没有得到应有的重视。但是随着社会经济的发展，健康问题成了各国普遍关注的问题，如何在实现经济可持续发展的目标下，保持整个社会健康资本的可持续发展，在理论和政策上都是需要迫切解决的问题。

对社会健康资源的合理使用能够增加社会的产出，但是缺乏基本的健康资本会影响整个社会的生产效率，比如由于水污染、空气污染而导致的各种疾病，不仅威胁个体生命，而且降低了整个社会可以使用的健康资本。由于医疗支出的增加，也给整个社会带来新的开支，从而影响社会可以用于生产性的资源，导致生产率下降。由于个人乃至整个社会的健康资本总的来说是有限的，或者说其自我更新的能力是非常有限的，所以即使经过大量的投资，是其边际健康产出仍然是递减的，由于健康资本在当代过度使用，会影响下一代所能够继承的健康资本，所以当代人利用健康资源还要考虑下一代的发展，这也是可持续发展的基本要求。

从20世纪70年代早期起，人们就开始研究增长与环境和社会健康资本之间的关系，如福斯特（Forster，B.A.，1973）、索罗（Solow，R.M.，1973），斯蒂格利茨（Stiglitz，J.E.，1974）、布鲁克（Brock，C.D.，1977）等，在他们的模型中，污染通常是总产出或资本存量或其他某些投入的函数，这使得污染随着产出的增加而增加，也就伴随着环境和整个社会的健康资本随着经济发展越来越恶劣，这个现象在历史上某个时间段是普遍存在的，特别是在处于工业化的初期和经济起飞阶段的国家。

资本和技术的缺乏，使得大多数国家选择了“先污染后治理”的发展模式，欧洲发达国家在工业革命时期曾经历过严重污染和社会健康资本积聚耗损，但其目前的环境状况和社会健康资源却是非常好的，这与以前的研究结论并不相符。此外，有大量的实证文献，如赛尔顿（Selden，T.M.）和宋（Song，D.，1994）、格罗斯曼和克鲁格（Krueger，A.B.，1995）、斯登（Stern，H.M.，1996）、伯鲁因（Bruyn，S.D.，1997）、希尔顿（Hilton，F.G.）和莱文森（Levinson，A.，1998）、李斯特（List，J.A.）和加内特（Gallet，C.A.，1999）的研究表明污染的程度和社会健康资源的消耗与经济增长是呈“倒U形”关系的，这就是所谓的EKC（库兹涅兹曲线）。

20世纪90年代早期，格罗斯曼和克鲁格（1991，1993）研究了北美自由贸易协定，他们发现，某种空气污染物的排放量先是随着收入的增加而增加，但是当收入增加到某个值后，其排放量随着收入的增加而减少。几乎在同一个时期，夏菲克（Shafik，N.）和班底奥帕迪亚伊（Bandyopadhyay，S.，1992）、潘那约托（Panayotou，T.，1993，1995）得出了相同的研究结论，也就是污染的排放量和收入的关系呈“倒U形”，沿用库兹涅兹（Kuznets，S.，1995）研究收入与收入不平等时得到的库兹涅兹曲线（Kuznets Curve），潘那约托称这种污染和收入的关系为环境的库兹涅兹曲线（EKC）。从另一种意义上，我们也可以认为，这是社会的健康资源或健康资本与经济增长的库兹涅兹曲线。很多文献都对EKC进行了解释，其研究方向大致可以分为两个其一为生产技术导致的EKC，即随着污染程度不同生产技术会发生变化（如Stocky，1998；Smulders，et al.，2005）；其二为减排技术导致了EKC（如John & Pecchenino，1994；Seldon & Song，1995；Andreoni & Levinson，2001；Chimeli & Braden，2002；Brock & Taylor，2004）。

阿罗（Arrow，K.J）等人（1995）认为，EKC反映了经济结构发展的自然规律，即从以清洁的农业为主的经济到以污染的工业为主的经济，再到以清洁的服务业为主的经济，在这个长期的发展过程中，环境和社会的健康资本与经济增长之间的关系正好符合EKC。

关于EKC的另一个解释是基于污染外部性来考虑的，琼斯（Jones，J.E）和马鲁尼（Manuelli，R.E.，1995）采用世代更迭模型来解释EKC。模型中经济增长是由市场相互作用决定的，污染的管制是由年青一代决定的，对于不同的决策机构，污染和收入的关系是不一样的，可能是“倒U形”，单调递增的，甚至“S形”的。

还有些文献认为，EKC是由于随着经济的增长一些约束条件失效所导致的，如斯托克（Stocky，N.，1998）用一个静态模型来描述此现象，在模型中，她假设生产技术随着污染程度发生变化，其中一个关键的假设是：在某个经济水平下，只有最差（也就是对环境污染最严重）的技术可以使用，随着经济的发展，污染随着收入水平的增长呈线性增加，直到经济达到我们假定的临界值，清洁的技术才会被使用，由此导致了污染和收入的关系是“倒U形”。基格（Jaeger，K.，1998）假设，在污染比较少的情况下，消费者对清洁空气的偏好是餍足的，此时环境的边际效用为0，直到污染到某种程度时，污染才会影响人们的效用。所以，类似于斯托克（1998），收入和污染的关系也是“倒U形”的，即先是污染随着收入的增加而增加，当最优解由角点解转移到内点解时，污染开始随着收入的增加而减少。

约翰（John，A.）和派克尼努（Pecchenino，R.，1994）考虑了世代更迭模型，假设如果不对环境进行投资来维护的话，环境质量会随时间而下降，在经济增长开始的一段时间，对环境的投资为0，所以环境越来越差，直到某一个值，人们对环境的投资为正，从而环境随着经济的增长而得到改善，作者进而得到了关于环境与收入之间的“倒U形”关系。

其他研究包括赛尔顿（Selden，T.M）和宋（Song，D.，1995）通过一个动态增长模型得到了很多关于污染与收入的可能关系，乔德哈里（Chaudhuri，R.A.）和普发夫（Pfaff，A.S.，1998b）构造了一个特殊的机制来解释EKC。凯利（Kelly，C.M.，1999）认为自然的不可修复性是导致EKC的主要原因。

安德列奥尼（Andreoni，J）和莱文森（Levinson，A.，2001）用一个非常简单的静态模型来刻画污染与收入的关系。他们认为，只要对偏好做很小的限制，就能得到随经济增长污染趋于0的一个充分条件：污染减排是规模回报递增的，也就是说，污染越多，清理这些污染的平均成本就越少。用这个理论可以很好地解释以前文献的结论，如斯托克（Stocky，N.，1998）的研究可以被等价地认为对污染的清理有一个固定成本，由于前期污染量很小，平均成本太高，不采取减排，从而使出现环境随经济增长越来越恶劣，随着后期的污染量不断增加，导致减排的平均成本越来越小。这篇文章的另一个结论是污染与收入的“倒U形”关系不依赖于外部性。

里布（Lieb，C.M.，2004）采用世代更迭模型来研究不同的污染存量和流量的路径，模型考虑了很多生产技术和减排技术的外部影响，但文章只分析了一个“短视”的政府，并没有考虑隔代之间的外部性问题。另外，由于文章没有考虑非管制的市场经济，所以没办法衡量公共政策的有效性。安德森（Anderson，W）和卡文迪西（Cavendish，D.，2001）通过一个动态模拟模型来研究公共政策对拐点的影响。艾格里（Egli，H.）和斯蒂格（Steger，T.M.，2006）在安德列奥尼和莱文森（2001）研究的基础上用一个很简单的动态模型来考虑“拐点的决定因素”，以及公共政策在减轻环境压力方面的有效性。文章认为，拐点与减排技术的递增规模回报的程度以及个体对清洁环境的偏好程度有关，同时在这个特殊的模型中，得到的污染和收入之间的曲线关系是“N形”的。

国内对社会健康资本、教育与经济增长之间关系的研究，还处于起步阶段，大部分研究都是在经验层面探讨健康的影响因素或采用因素分解来测度健康不平等指标及不平等现状（封进、李珍珍，2009；解垩，2009；刘靖，2008）。从理论上对健康与经济增长之间关系的研究有待进一步展开。考虑到单独分析教育对经济增长作用的模型（Lucas，1988）和单独分析健康对经济增长作用的模型（Agenor，2008）都已有之，再联系现实生活中，在社会人力资本的形成过程中，健康和教育并不是孤立作用的元素，故作为人力资本形成的两种最主要方式，两者之间必然会存在着因果关系。有鉴于此，在理论建模时，将社会健康资本、教育和经济增长同时纳入我们的考察范畴，分析健康与教育之间的相互作用和影响，以及健康投入与教育投入共同形成的有效劳动对经济增长的影响路径就显然很有必要。

广义上的社会健康资本包括良好的环境，因为环境是人们赖以生存不可或缺的载体，但光有这点是不够的，还应该包括良好的医疗设施、足够的医生和其他医护人员等。狭义的社会健康资本可以是医疗设施、良好的医疗服务，甚至仅仅只是个人的健康^[1]。

我们试图从广义的社会健康资本的角度，参考Lucas的内生增长模型。一般而言，考虑教育对社会健康资本的促进、健康资本与经济增长的关系（也就是EKC），并分析整个社会健康资本的初始状态对EKC走势的影响。一般而言，健康资本直接进入生产函数和家庭效用函数，资源利用越多产出也就越多，但是对资源的过度使用，也会给人们带来更大的负效用，而且还需考虑到现实中健康资源有一个自我更新的过程。

二 基准模型

我们考虑一个代表性的家庭通过选择消费和健康资本的使用来最大化其效用，效用函数表示为：

其中，c表示消费，κH表示使用健康资本的量，H表示总的健康资本存量，κ表示使用的健康资本的比例，σ＞0为消费的跨期替代弹性。1-γ为健康资本的跨期替代弹性，为了分析的方便，我们均设为常数。

我们假设U₁＞0且U₂＜0，也就是说消费越多效用越大，对健康资本存量使用越多，意味着维持生存的健康资本存量就越少。因此，这也是一种成本，会给消费者带来负效用。

假设整个经济是单部门经济，我们考虑科布-道格拉斯生产函数形式：

y=f（k，κH）=AK^α（κH）^β

其中，k为平均物质资本存量，A表示生产的技术，κH表示投入在生产中的健康资本存量，α＞0，β＞0分别表示物质资本和健康资本对生产贡献的份额。

资本的积累方程和一般的增长模型是一致的，即等价于产出减去折旧和消费，也就是投资。假设在最优状态下，没有浪费，全部投资均转换为资本的增加。

其中，δ表示物质资本折旧率。我们考虑健康资本具有一个自我更新过程，自我更新的速度为η：

由于在t期已经有κH的资源用于生产而被消耗掉了，故只剩下（1-κ）H的资源存量再乘以恢复的速率就是健康资本存量的变化量。

假设存在一个致力于社会效用最大化的政府，此时，我们可以得到无限期生命的社会计划者的最优化问题：

其中，ρ为时间偏好率，社会计划者通过选择消费和利用健康资本存量来最大化整个社会的效用，约束条件为：

该问题的现值哈密尔顿方程为：

其中，λ₁和λ₂分别是与K和H有关的共同状态变量，是哈密尔顿乘子，反映了增加一单位物质资本和健康资本对总体效用的边际贡献。

三 方程求解

首先，求最优化问题的一阶条件，可令哈密尔顿系统对控制变量消费的偏导数为零：

我们得到：

c^-σ-λ₁=0λ₁=c^-σ（3-4）

令哈密尔顿系统对控制变量健康资本消耗份额κ的偏导数为零：

哈密尔顿系统对状态变量物质资本的偏导数为：

哈密尔顿系统对状态变量健康资本的偏导数为：

为了保证系统有最优解，没有任何物质资本在最后时期被浪费，假设在终点时期的物质资本和健康资本的现值为零，我们可以得到横截性（TVC）条件为：

由于有了哈密尔顿方程和边界条件（横截性条件），我们就得到了一个完整的哈密尔顿系统，对于（3-4）式，我们可以用自然对数变形，lnλ₁=-σlnc，然后两边对时间求导，得到（3-9）式如下：

g_λ1=-σg_c（3-9）

对（3-3）式直接变形，

因为y=f（k，κH）=AK^α（κH）^β，我们取对数可得到：

lny=lnA+α lnK+β lnκ+β lnH

两边对t求导数，得到：

g_y=αg_k+βg_κ+βg_H

然后再由（3-6）式得到：

g_λ1=ρ-[αAK^α-1（κH）^β-δ]

移项得到：

αAK^α-1（κH）^β=ρ+δ-g_λ1

因为是在平衡路径上，g_λ1是常数，所以上式的右边是常数，两边取对数，再对t求导，得到，

（α-1）g_k+βg_κ+βg_H=0

然后代入：g_y=αg_k+βg_κ+βg_H中，我们得到：

g_y=g_k（3-11）

我们将（3-2）式两边同时除以K，得到：

由于在均衡路径上，物质资本的增长率应该为一个常数，所以再对物质资本K求导：

移项后，两边同时取对数，对t求导，得到：

g_c=αg_k+βg_κ+βg_H=g_y

我们将（3-5）式变形，两边同时除以H，因为H（t）＞0，∀t，故可以得到

-（κH）^γ-1+λ₁βAK^α（κH）^β-1=λ₂η

然后将上式代入（3-7）式中，可以得到：

g_λ2=η-ρ（3-12）

其中，g代表了变量的增长率，在最优平衡增长路径（BGP）上，从（3-9）式我们可以看出，消费的增长和物质资本的哈密尔顿乘子的增长是相反的，就是说消费增长越多，物质资本的增长率就越低，消费和积累之间是相互竞争的；（3-10）式，即健康资本的累积方程，健康资本的增长率是其更新率乘以用在生产上的健康资本份额，当我们用于生产上的份额减少时，健康资本存量用于积累的部分就会增加，而如果更新率增加，那么健康资本的增长也会增加。从（3-12）式中，我们得到如果健康资本的更新速度η增加，则健康资本的增速加大，但是如果时间偏好率ρ增加，未来投资的收益现值会减少，那么投入在健康资本上的现值收益就会下降，人们会采取当期消费更多的健康资本，从而健康资本的积累速度会下降。

根据上面的结论，我们知道，产出的增长率和物质资本的增长率是相等的，在平衡增长路径上，消费必定是和产出增长一致的，否则物质资本积累率就会超过或者低于产出的增长率，即它们三者的增长率是相同的，记为：

τ=g_k=g_y=g_c（3-13）

而且，在平衡增长路径上，每个变量的增长率为常数，因而由（3-9）式可知κ为一个常数，有：

g_κ=0（3-14）

这说明，在最优状态下，我们不会变更生产和消费的健康资本比例。对C-D生产函数采用自然对数，然后对时间求导，可以得到如下公式：g_y=αg_k+β（g_κ+g_H）（3-15）

将（3-13）式和（3-14）式代入（3-15）式中，我们即可得到健康资本的增长率：

从（3-16）式中，我们可以看出，如果生产中物质资本和用于生产的健康资本的产出弹性减少，则用于健康资本的积累份额就会增多，从而提高了健康资本的增长率；如果经济增长了，就会加速对健康资本的需求量，从而也就要求有更高的健康资本的增长率。

联立（3-3）式和（3-15）式，我们得到生产中健康资本的份额为：

在上式中，如果增加，则健康资本的增长率也增加，这意味着投入生产的健康资本份额会减少；如果健康资本的更新率增加，那么健康资本就会增加，在消费的健康资本一定的情况下，可以投入生产中的健康资本的份额也就会增加。

于是，我们有命题3.1.1：假设k（t）=k（0）e^τt，，令H（0）＞H_min，∀t，则H_min是保证生存的最小健康资本；假设经济是规模报酬不变的，即α+β=1，τ∈（0，η），则相对资源（）较丰富的国家，其稳态增长率τ越高。

证明：我们首先用生产函数对物质资本k求导，（3-17）式左边是物质资本的边际收益，而右边是边际成本，我们将（3-6）式、（3-9）式和（3-13）式代入我们假定的初始条件，可以得到：

整理得到：

消除相同项后，可得：

为了方便起见，我们令k^（0）α-1H（0）^β=B为常数，得到：

从（3-18）式的左边看，当用于生产的健康资本的贡献份额β增加时，会对物质资本的收益产生外溢效应，使物质资本的收益率增加，而且当物质资本和健康资本的初值k（0），H（0）增加时，也会使得现在一个单位的物质资本的边际收益更高，而右边是使用一单位物质资本的成本，第一项是机会成本，即是用来消费的资本却用在了生产上，生产的增长率乘以消费的跨期效用替代弹性，转换成为消费者效用损失成本；第二项是消费者对推迟消费的时间偏好率，即推迟消费的主观收益率；第三项是资本的折旧成本，即资本在使用中的磨损和损耗（包括有形的和无形的）。

由于假设经济是规模报酬不变的，有α+β=1，则β=1-α，令β∈（0，1），又假设τ∈（0，η），，；代入（3-18）式，得到：

这是一个超越方程，但是我们仍然可以看到τ是的函数，即，又，因为＞0，其他的参数也都大于零，所以我们得到的结论是：资源相对越富裕（越大）的国家，稳态增长率τ越高。

这说明，如果一国的健康资本存量越大，即H（0）越大，其经济发展的潜力就越大。

于是，我们有命题3.1.2：假设k（t）=k（0）e^τt，，令H（0）＞H_min，∀t，则H_min是保证生存的最小健康资本；假设经济是规模报酬不变的，即α+β=1，τ∈（0，η）；在平衡增长路径下，健康资本的增长率g_H和其更新率η无关，与物质资本和健康资本的贡献份额α及β无关，而且相对资源（）越丰富的国家，国家稳态增长率τ越高，健康资本的增长率g_H也越高。

证明：因为在平衡增长路径下，我们有g_H=（1-κ）η，但是，代入前式，有，又假设经济是规模回报不变的，α+β=1，即β=1-α，故g_H=τ。但是我们根据命题3.1.1，得到资源相对越富裕（越大）的国家其稳态增长率τ越高，由此我们得出健康资本的增长率也就越高。

这说明，一个国家的经济增长越快，对健康资本的需求就越高；反过来说，一国的经济越富裕，就越有能力为加快健康资本的积累创造条件。

但是，当α+β＞1即1-α＜β时，在经济发展初期，资源的回报率很高，规模效益递增，，社会健康资源的增长率将小于经济增长的速度，此时将存在社会资源消耗过度的不利局面；而当经济起飞后，经济资源的回报便会慢慢下降，规模回报随之出现递减，α+β＜1即1-α＞β，，此时，整个社会渐渐富裕，可以有更多的资源来使整个社会的健康资源加速积累。发达国家就是这样，它们的绝对GDP已经很大，相对GDP增长速度却低于发展中国家，但整个社会的健康资源的增长却很快，环境进一步好转，医疗设施和教育水平不断提高；相比之下，发展中国家GDP增长速度很快，资源的回报率很高，但整个社会的健康资本却大量消耗，呈现出不断递减的态势，大大低于经济增长速度，环境恶化，医疗设施和教育都有待提高。由此，我们便刻画了健康资本增长率g_H和经济增长率τ之间的“倒U形”关系（EKC）。

图3-1 健康资本增长率和经济增长率的“倒U形”曲线

现在，我们放松前提假设，假设这个社会由于教育投入而存在技术进步，即，s代表社会平均教育年限，A（t）=A（0）e^n（s）t，且n′（s）＞0，n″（s）＜0，我们得到：

命题3.1.3：当整个社会的平均教育年限提高时，社会健康资本也会相应提高。

证明：因为A（t）=A（0）e^n（s）t，且n′（s）＞0，n″（s）＜0，（3-19）式可变为：

为了方便起见，令为常数，上式变为：

将经济增长率τ对社会平均教育水平s求导，得到：

图3-2 经济增长率和社会平均教育水平的关系曲线

又，，所以，当整个社会的平均教育年限提高时，社会健康资本也会提高。

四 结论

从本节中，我们可以看到，如果经济是规模报酬不变的，即α+β=1，τ∈（0，η）；相对资源（）较丰富的国家，其稳态增长率τ越高。相对资源（）较丰富，特别是健康资源丰厚的国家，其发展潜力将特别大。即使放松规模报酬不变的假设，我们的结论也依然成立。良好的社会健康资源是一个社会经济发展的必要条件。从经济史的角度来看，经济表现不错的国家，大多数是那些自然环境良好、人民健康程度高、教育水平不错、社会健康资本丰裕的国家。而自然环境恶化，人民的身体素质较差，教育水平落后的国家在目前发展也不太好。

如果经济是规模报酬不变的，即α+β=1，τ∈（0，η）；在平衡增长路径下，健康资本的增长率g_H和其更新率η无关，与物质资本和健康资本的贡献份额α及β亦无关，而且相对资源（）较丰富的国家，国家稳态增长率τ越高，整个社会的健康资本的增长率g_H越高。此外，在规模递增和递减阶段，我们可以得出健康资本的增长率g_H和国家稳态增长率τ的“倒U形”曲线。

当整个社会的教育水平提高时，经济增长率会提高，根据命题3.1.2可以得知，，因此不管是α+β＞或=或＜1，健康资本增长率都会随教育水平的提高而提高。

随着整个社会的平均教育水平的提高，整个社会的技术手段和价值观念会发生深刻的变化。我们不断见证社会的经济资源得到更好和更为有效的利用，更加环保的生产方式的采用，不仅会使产出增加，用于健康资本自身积累的社会健康资本份额会增加，健康资本的存量也会慢慢增加。而且，由于教育水平的提高，人们接受了更为环保的生活方式，更加有效地利用各种资源，如消费更为健康的食物、更有规律的生活、良好个人习惯的选择。有时，宗教教育也会对人们的消费习惯产生重要的影响。例如，福克斯（Fuchs.V.R.，2000）通过比较美国的两个相邻州（内华达州和犹他州）的居民死亡率，仔细考察了生活方式对健康的影响。结果表明，这两个州在气候、收入水平和人均医疗资源上相差不大，犹他州的居民多为摩门教徒，由于居民普遍受到了宗教教育的影响，日常生活中表现为居民很少抽烟，喝酒和咖啡等特征。而内华达州的宗教教育影响不大，吸烟和酗酒的人要远高于犹他州，而且居民的各年龄段死亡率也高于犹他州。宗教教育通过改变人们的信念结构，改变了人们的价值观和社会观，确立了更高的生活标准和规范，某种程度上也成了人们改进健康的手段。健康是人们效用函数中非常重要的因素，通过教育，人们了解到健康带来的好处，获取有关健康的知识，从而经常锻炼身体，食用营养食品，远离垃圾食品、香烟和烈酒，等等，养成更好的生活习惯。

人们会避免错误的消费方式，例如，大量无节制地酗酒、熬夜，注重自己的休闲娱乐及闲暇时间的利用效率。随着健康资本的增加，个人的消费效用也会增加，因为一个人在更好的环境中生存和消费会更加惬意，良好的健康状况也是自己的家庭生活更为美满的保障。由于知识的增加，人们更加注意消费所导致的健康资本的消耗，采用更为健康的消费模式，消费健康资本的负效用也会相应下降。

由于医疗保健知识的普及，人们会更好地利用医疗知识和手段来增进自身的健康，从而减少了因病停工的损失，而且接受过专门的健康教育对于孕妇的分娩有着显著的影响。例如，通过运用多因素Logistic回归和多水平Logistic回归模型分析中国西部农村地区8个省份42个县孕妇住院分娩情况及其影响因素，沈洁、丁辉、安琳（2009）发现，妇女孕期接受产前检查和健康教育（孕期宣传、住院分娩动员）是住院分娩的重要因素，而住院分娩是安全分娩的重要保证和前提，这说明健康教育可以有效改善和保护母婴的健康。

在现实中，当教育水平提高时，人们拥有的资本在未来收入贴现现值中收益更高，这意味着时间偏好率ρ下降，而一些扩展研究将时间偏好率ρ看作是教育s的函数，并且会ρ′（s）＜0，表明人们会将更多的资源投入到未来的收益活动中，即生产活动，那么经济增长率τ也会上升，慢慢的健康资本的增长率也会增加。而且还可以考虑健康资本的更新率是健康资本存量的函数η（H），η′（H）＞0，η″（H）＜0，而教育会长期增加健康资本的积累，从而间接提高了健康资本的更新率。